Bài giảng Toán 6 (Số học) Sách KNTT - Chương II, Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất

KHỞI ĐỘNG 
Bài toán: 
Mai cần mua đĩa giấy, cốc giấy để chuẩn bị cho một bữa tiệc sinh nhật. Đĩa và cốc được đóng thành từng gói với số lượng mỗi loại khác nhau: gói 4 cái đĩa và gói 6 cái cốc. Cửa hàng chỉ bán từng gói mà không bán lẻ. Mai muốn mua số đĩa và số cốc bằng nhau thì phải mua ít nhất bao nhiêu gói mỗi loại? 
Để giúp Mai mua được 
số đĩa và số cốc bằng nhau, chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài mới hôm nay 
Bài 13 : BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 
1. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 
a. Bội chung và bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số 
HĐ1 
Tìm các tập hợp B(6), B(9). 
Giải: 
B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54;} 
B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63;} 
HĐ2 
Gọi BC(6, 9) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9. Hãy viết tập BC(6, 9). 
Giải: 
BC(6, 9) = {0; 18; 36; 72; 48; 54;} 
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó 
Kí hiệu: BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b 
HĐ3 
Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9). 
Giải: 
Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9) là 18. 
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó. 
Kí hiệu: BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b. 
 x BC(a,b) nếu x a và x b 
x BC(a,b,c) nếu x a , x b, x c 
Nhận xét: 
Tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất của 4 và 6. 
B(4) = 
B(6) = 
BC(4, 6) = 
{ 0 ; 4; 8; 12 ; 16; 20; 24 ; 28;...} 
{0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28;} 
{0; 12; 18; 24; 30;} 
BCNN(4, 6) = 
 12 
 12 
Ví dụ 1 : 
{ 0 ; 12 ; 24 ;} 
{ 0 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ;} 
Để mua cùng số lượng n cái mỗi loại thì n BC(4, 6)Để mua ít nhất thì n = BCNN(4, 6) = 12Vậy bạn Mai có thể mua ít nhất 12 cái mỗi loại hay mua 3 gói đĩa và 2 gói cốc. 
Ví dụ 2 : (BT mở đầu) 
b. Tìm bội chung nhỏ nhất rong trường hợp đặc biệt 
Em có cách khác ngắn hơn 
Tròn và vuông đều làm rất tốt 
Nhận xét 1: 
Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy. 
Nếu a b thì BCNN(a, b) = a 
 Tìm BCNN (8, 1) ; BCNN (4, 6, 1) 
	 BCNN(8, 1) = 8;	 
Nhận xét 2 : 	 
Mỗi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có: 
 	 BCNN(a, 1) = a 	BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b) 
Ví dụ: 
BCNN(4, 6, 1) = BCNN(4, 6) 
Tìm BCNN(36, 9)? 
Bài làm: 
Vì 36 9 nên BCNN(36, 9) = 36 
? 
Tìm bội chung nhỏ nhất của: 
a) 6 và 8 b) 8; 9; 72 
Bài làm: 
b) Vì 72 8 và 72 9 nên BCNN(8, 9, 72) = 72 
a) B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48;} 
 B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48} 
 BC(6, 8) = {0; 24; 48;} 
 BCNN(6, 8) = 24 
Luyện tập 1: 
Có hai chiếc máy bay A và B. Lịch bảo dưỡng định kì đối với máy A là 6 tháng và đối với máy B là 9 tháng. Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng 5. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng? 
Vận dụng: 
Giải: 
Số tháng mà lần tiếp theo hai máy cùng bảo dưỡng 
là BCNN(6, 9) = 18 
Bây giờ là tháng 5, khi đó tháng 11 sang năm thì hai máy mới cùng bảo dưỡng 
Có cách nào tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số mà không cần liệt kê các ước của mỗi số hay không? 
a. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố. 
Ví dụ: Tìm BCNN(75, 90) 
 Phân tích các số 75 và 90 ra thừa số nguyên tố, ta được: 
	 75 = 3 . 5 . 5 = 
	 90 = 2 . 3 . 3 . 5 = 
3 . 5 2 
2 . 3 2 . 5 
 Thừa số nguyên tố chung và riêng: 
 2; 3; 5 
 Lập tích các thừa số nguyên tố đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. 
 BCNN (75, 90) = 
2 
3 
2 
= 450 
. 
5 
. 
2 
1 
2. CÁCH TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 
2 
3 
Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng . 
Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm. 
Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. 
Các bước tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1: 
Quy tắc : 
1 
2 
3 
So sánh cách tìm ƯCLN và BCNN 
ƯCLN 
BCNN 
 Chung 
Chung và riêng 
Nhỏ nhất 
 Lớn nhất 
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. 
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố: 
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn mỗi thừa số lấy với số mũ: 
Giải: 
Tìm bội chung nhỏ nhất của 9 và 15, 
biết: 9 = 3 2 và 15 = 3 . 5 
Khi đó BCNN(8, 12)	 = = 45 
? 
Thừa số nguyên tố chung là 2 và riêng là 5 
3 2 . 5 
Ví dụ 3 : Tìm BCNN(18, 24, 40) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố. 
Giải: 
Ta có: 
	18 = 2 . 3 2 
	24 = 2 3 . 3 
 40 = 2 3 . 5 
BCNN(18, 24, 40)	 = = 360 
2 3 . 3 . 5 
Có cách nào tìm bội chung của hai hay nhiều số mà không cần liệt kê các bội của mỗi số hay không? 
b. Tìm bội từ bội chung nhỏ nhất 
Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau: 
 Tìm BCNN của các số. 
 Tìm các bội của BCNN đó. 
1 
2 
Giải: 
Biết bội chung nhỏ nhất của 8 và 6 là 24. 
Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6. 
? 
Ta có BCNN(8, 6) = 24 
Suy ra BC(8, 6) = {0; 24; 48; 96; 192; } 
Nên các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6 là 
0 ; 24; 48; 96 . 
Ta có BCNN(18, 24, 40) = 360 
Suy ra BC(18, 24, 40) = {0; 360; 720; 1 080; } 
Nên các bội chung nhỏ hơn 900 của 18; 24 và 40 là 
0 ; 360; 720 . 
Ví dụ 4 : 
Ta có 15 = 3 . 5 
	 54 = 2. 3 3 
BCNN(15, 54) = 2. 3 3 . 5 = 270 
Suy ra BC(15, 54) = {0; 270; 540; 1 080; } 
Nên các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54 là 
 0 ; 270; 540 . 
Luyện tập 2: 
Giải: 
Tìm bội chung nhỏ nhất của 15 và 54. 
Từ đó, hãy tìm các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54. 
Thử thách nhỏ: 
Lịch xuất bến của một số xe buýt tại bến xe Mỹ Đình (Hà Nội) được ghi ở bảng dưới đây. Giả sử các xe buýt xuất bến cùng lúc vào 10 giờ 35 phút. Hỏi vào các thời điểm nào trong ngày 
(từ 10 giờ 35 phút đến 22 giờ) các xe buýt này lại xuất bến cùng một lúc? 
Bến xe Mỹ Đình 
Số xe 
Thời gian 
Xe 16 
15 phút/chuyến 
Xe 34 
9 phút/chuyến 
Xe 30 
10 phút/chuyến 
Giải: 
3. Quy đồng mẫu các phân số 
*) Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số 
Để quy đồng mẫu hai phân số và , ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. 
Thông thường ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu. 
Ví dụ: Quy đồng mẫu hai phân số và 
Ta có BCNN(8, 12) = 24 nên 
Giải: 
Quy đồng mẫu hai phân số và 
? 
Ta có 9 = 3 2 
	 15 = 3 . 5 
BCNN(9, 15) = 3 2 . 5 = 45 
Do đó 
Giải: 
Quy đồng mẫu các phân số sau: ; và 
Ta có 8 = 2 3 ; 9 = 3 2 ; 6 = 2 . 3 
BCNN(8, 9, 6) = 2 3 . 3 2 = 72 
Do đó 
Ví dụ 5: 
Có thể chọn một bội chung khác 0 bất kì của các mẫu làm mẫu chung. Tuy nhiên, người ta thường lấy BCNN làm mẫu chung 
Giải: 
Thực hiện phép tính: 
a) b) 
a) Ta có BCNN(4, 6) = 12 
nên 
Ví dụ 6: 
b) Ta có BCNN(12, 8) = 24 
nên 
Giải: 
Quy đồng mẫu các phân số sau: 
a) và b) ; và 
a) Ta có 12 = 2 2 . 3; 15 = 3 . 5 
BCNN(12, 15) = 2 2 . 3 . 5= 60 
Do đó 
Luyện tập 3: 
1 
b) Ta có 7 = 7; 9 = 3 2 ; 12 = 2 2 . 3 
BCNN(7, 9, 12) = 2 2 . 3 2 . 7 = 252 
Do đó 
Giải: 
Thực hiện phép tính: 
a) b) 
a) Ta có BCNN(4, 6) = 12 
nên 
b) Ta có BCNN(12, 8) = 24 
nên 
2 
Tìm bội chung nhỏ hơn 200 của: 
5 và 7 b) 3, 4 và 10 
Bài 2.36: (SGK/53) 
LUYỆN TẬP 
Giải: 
a) Ta có 5 = 5; 7 = 7 
BCNN(5, 7) = 5 . 7 = 35 
Suy ra BC(8, 6) = {0; 35; 70; 105; 140; 175; 210} 
Nên các bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là 
0 ; 35; 70; 105; 140; 175 . 
Chú ý: 
Nếu các hai đã cho nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó. 
Ví dụ: 
BCNN(5, 7) = 5 . 7 = 35 
b) Ta có 3 = 3; 4 = 2 2 ; 10 = 2 . 5 
Suy ra BC(3, 4, 10) = BCNN(3, 4, 10) = 2 2 . 3 . 5 = 60 
{0; 60; 120; 240} 
Nên các bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là 
0; 60; 120 . 
Tìm BCNN của: 
2 . 3 2 và 3 . 5 b) 2 . 5. 7 2 và 3 . 5 2 . 7 
Bài 2.37: (SGK/53) 
Giải: 
a) BCNN( 2 . 3 2 , 3 . 5 ) = 2 . 3 2 . 5 = 90 
b) BCNN( 2 . 5. 7 2 , 3 . 5 2 . 7 ) = 2 . 3 . 5 2 . 7 2 = 7350 
Tìm BCNN của các số sau: 
30 và 45 b) 18, 27 và 45 
Bài 2.38: (SGK/53) 
Giải: 
a) Ta có 30 = 2. 3 . 5; 45 = 3 2 . 5 
BCNN( 30, 45 ) = 2 . 3 2 . 5 = 90 
b) Ta có 18 = 2 . 3 2 ; 27 = 3 3 ; 45 = 3 2 . 5 
BCNN( 18, 27, 45 ) = 2 . 3 3 . 5 = 270 
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, 
biết rằng a 28 và a 32. 
Bài 2.39: (SGK/53) 
Giải: 
Ta có a 28; a 32 và a nhỏ nhất khác 0 
Nên a = BCNN(28, 32) 
28 = 2 2 . 7; 32 = 2 5 
Suy ra BCNN(28, 32) = 2 5 . 7 = 224. Vậy a = 224 
Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp từ 30 đến 40. 
Tính số học sinh của lớp 6A. 
Bài 2.40: (SGK/53) 
Giải: 
Gọi số học sinh của lớp 6A là x (x N và ) 
Vì số học sinh khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ 
Nên x 3; x 4; x 9 
Suy ra x BC(3, 4, 9) 
Ta có BCNN(3, 4, 9) = 2 2 . 3 2 = 36 
BC(3, 4, 9) = {0; 36; 72; } 
Suy ra x {0; 36; 72; } 
Mà nên x = 36 
Vậy lớp 6A có 36 học sinh. 
Hai đội công nhân trồng được một số cây như nhau. 
Mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội hai đã trồng 11 cây. Tính số cây mỗi đội đã trồng, biết rằng 
số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200 cây. 
Bài 2.41: (SGK/53) 
Giải: 
Gọi số cây mỗi đội đã trồng là x (x N và 100 < x < 200) 
Vì mỗi công nhân đội I trồng được 8 cây, mỗi công nhân đội hai đã trồng 11 cây và hai đội trồng được một số cây như nhau. 
Nên x 8; x 11 
Suy ra x BC(8, 11) 
Ta có BCNN(8, 11) = 8 . 11 = 88 
BC(8, 11) = {0; 88; 176; 352;} 
Suy ra x {0; 88; 176; 352; } 
Mà 100 < x < 200 nên x = 176. Vậy mỗi đội đã trồng được 176 cây. 
Cứ 2 ngày, Hà đi dạo cùng bạn cún yêu quý của mình. 
Cứ 7 ngày, Hà lại tắm cho cún. Hôm nay, cún vừa được đi dạo, vừa được tắm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày nữa thì cún 
vừa được đi dạo, vừa được tắm? 
Bài 2.42: (SGK/53) 
Giải: 
Gọi số ngày ít nhất mà cún vừa được đi dạo, vừa được tắm là x (x N) 
Vì cứ 2 ngày Hà đi dạo cùng bạn cún và cứ 7 ngày Hà lại tắm cho cún 
Nên x 2 và x 7 
Suy ra x = BCNN(2, 7) 
Ta có BCNN(2, 7) = 2 . 7 = 14 
Suy ra x = 14 
Vậy sau 14 ngày nữa thì cún vừa được đi dạo, vừa được tắm . 
Bài 2.43: (SGK/53) 
Giải: 
Quy đồng mẫu các phân số sau: 
a) và b) ; và 
a) Ta có 12 = 2 2 . 3; 15 = 3 . 5 
BCNN(12, 15) = 2 2 . 3 . 5= 60 
Do đó 
b) Ta có 10 = 2 . 5; 4 = 2 2 ; 14 = 2 . 7 
BCNN(10, 4, 14) = 2 2 . 5 . 7 = 140 
Do đó 
Bài 2.44: (SGK/53) 
Giải: 
Thực hiện phép tính: 
a) b) 
a) Ta có BCNN(7, 11) = 77 
nên 
b) Ta có BCNN(12, 8) = 24 
nên 
Cách tìm 
BCNN 
Bội chung 
Quy đồng mẫu các phân số 
SƠ ĐỒ TƯ DUY TÓM TẮT NỘI DUNG BÀI HỌC 
BỘI CHUNG 
VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 
Khái niệm 
Khái niệm 
Cách tìm 
 * Đối với bài học ở tiết học này:   Nắm được thế nào là bội chung, 
 bội chung nhỏ nhất.  Nắm vững cách tìm bội chung 
và BCNN của hai hay nhiều số. 
 BTVN: SGK.   ChuÈn bÞ cho tiÕt sau luyÖn tËp.