Chuyên đề ôn tập Toán 9 - Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

1CHUYÊN ĐỀ LỚP 9 
NHÓM: LIÊN BÃO VÀ HIÊN VÂN 
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH, 
HỆ PHƢƠNG TRÌNH 
A. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƢƠNG TRÌNH, HỆ 
PHƢƠNG TRÌNH 
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thực hiện 
theo các bước sau: 
Bước 1: Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn 
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã
biết 
Bước 3: Lập phương trình, hệ phương trình 
Bước 4: Giải phương trình, hệ phương trình và kết luận 
* Nếu lập phương trình 
thì chọn một đại lượng cần tìm làm ẩn 
 *Nếu lập hệ phương trình 
thì chọn hai đại lượng cần tìm làm hai ẩn 
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 
I ) DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 
1. Lập phƣơng trình – hệ phƣơng trình 
Dạng 1: Chuyển động ngƣợc chiều, cùng chiều 
Chọn hai đại lượng cần tìm là hai ẩn 
- Tìm vận tốc 
+) Tính quãng đường vật A, vật B 
=> Tìm mối quan hệ về quãng đường đi của vật A và vật B để lập phương trình 
+) Tìm mối liên hệ vận tốc của vật A và vật B để lập phương trình. 
- Tìm thời gian 
+) Tính quảng đường vật A, vật B
=> Tìm mối quan hệ về quãng đường đi của vật A và vật B để lập phương trình 
2+) Tìm mối liên hệ thời gian của vật A và vật B để lập phương trình 
- Lập bảng tóm tắt 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Vật A mx x m 
Vật B ny y n 
Điều kiện x > 0; y > 0 
Bài tập minh họa: Một khách du lịch đi trên ôtô trong 4h, sau đó đi trên tàu hỏa 
trong 7h được quãng đường 640km. Tính vận tốc tàu hỏa và ôtô, biết rằng mỗi giờ 
tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô 5km 
- Phân tích tìm cách giải 
- Biết tổng quãng đường tàu và ôtô đi được 640km 
- Biết vận tốc tàu nhanh hơn vận tốc của ôtô là 5km/h 
=> Tìm vận tốc tàu và vận tốc của ôtô 
- Bảng tóm tắt cách giải 
Cách 1: Lập hệ phƣơng trình 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Tàu hỏa 7x x 7 
Ôtô 4y y 4 
Điều kiện x > 0; y > 0 
Ta có hệ phương trình 












3577
64047
5
64047
5
64047
yx
yx
yx
yx
yx
yx
(Sử dụng máy tính tìm nghiệm x; y ta được) 



55
60
y
x
Cách 2: Lập phƣơng trình 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Tàu hỏa 7x x 7 
Ôtô 4(x – 5) x - 5 4 
Điều kiện: x > 5 
Ta có phương trình 7x + 4(x – 5) = 640
 x = 60 (thỏa mãn điều kiện) 
3Bài tập tƣơng tự: (HS tự giải)
Bài tập 1: Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 
160km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h. Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng 
nếu xe máy đi từ A tăng thêm 10km sẽ bằng 2 lần vận tốc của xe máy đi từ B 
Bài tập 2: Một ôtô đi quãng đường AB dài 360km hết 8h. Lúc đầu ôtô đi với vận 
tốc 40km/h, sau đó đi với vận tốc 60km/h. Tính thời gian ôtô đi với vận tốc 
40km/h và 60km/h 
Bài tập 3: Một ôtô đi trên đoạn đường AB với vận tốc 55km/h, sau đó đi trên đoạn 
BC với vận tốc tăng 5km/h. Biết quãng đường AC dài 290km và thời gian đi trên
đoạn AB ít hơn thời gian đi trên đoạn BC là 1h. Tính thời gian đi trên mỗi đoạn 
đường. 
Bài tập 4: Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách 
nhau 48km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h. Tính vận tốc của mỗi xe biết 
vận tốc người đi từ A lớn hơn vận tốc người đi từ B là 4km/h. 
Bài tập 5: Trên quãng đường AB dài 200km có hai ô tô chuyển động ngược chiều.
Xe thứ nhất đi từ A, xe thứ hai đi từ B. Nếu hai xe cùng khởi hành thì sau 2h gặp
nhau. Nếu xe thứ nhất đi trước xe hai 2h thì hai xe gặp nhau khi xe thứ hai đã đi
được 1h. Tính vận tốc của mỗi xe 
Bài tập 6: Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750km và đi ngược 
chiều nhau, sau 10h chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 
3h45’ thì sau khi xe thứ hai đi được 8h chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe 
Bài tập 7: Trên quãng đường AB dài 650km có hai ôtô chuyển động ngược chiều.
Xe thứ nhất đi từ A, xe thứ hai đi từ B. Nếu hai xe cùng khởi hành thì sau 10 giờ
gặp nhau. Nếu xe thứ hai đi trước xe thứ nhất 4 giờ 20 phút thì hai xe gặp nhau khi
xe thứ nhất đã đi được 8 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe 
Bài tập 8: Trên đoạn đường AB dài 300km có hai ôtô đi ngược chiều. Nếu hai xe
cùng xuất phát thì hai xe gặp nhau sau 3 giờ. Nếu xe đi từ B đi trước 50 phút thì
hai xe gặp nhau sau khi xe đi từ A đi được 2 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe 
Bài tập 9: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 30km, đoạn xuống dốc dài 
60km, đoạn nằm ngang dài 40km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 4h18’, đi từ 
B về A hết 4h48’. Tính vận tốc của người đó trên đoạn lên dốc và đoạn xuống dốc 
biết vận tốc đoạn nằm ngang là 50km/h 
4Bài tập 10: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km, một đoạn xuông
dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41
phút. Tính vận tốc lên dốc và vận tốc xuông dốc 
Dạng 2: Chuyển động có thời gian, vận tốc dự định 
1) Nếu thời gian dự định là x(h) 
a) Đến trước, đến sớm, đi nhanh,.. so với dự định a (h) 
=> x – a (h) 
b) Đến sau, đến muộn, đi chậm,.. so với dự định b (h) 
=> x + b (h) 
2) Chọn vận tốc và thời gian làm ẩn 
3) Chú ý quãng đường không đổi 
=> Lập phương trình 
4) Lập bảng tóm tắt cách giải 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Dự định xy x y 
Thực tế Lúc đầu 
Lúc sau 
Bài tập minh họa: Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu 
tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1h. Nếu giảm vận tốc đi
10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2h. Tính vận tốc, thời gian dự định và quãng 
đường AB 
- Phân tích bài tìm cách giải 
Bài yêu cầu tìm s, v, t dự định 
Biết: V tăng 10km/h thì t sớm hơn dự định 1h 
 V giảm 10km/h thì t đến muộn hơn dự định 2h 
- Bảng tóm tắt cách giải 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Dự định xy x y 
Thực tế Lúc đầu (x + 10)(y – 1) x + 10 y - 1 
Lúc sau (x – 10)(y + 2) x - 10 y + 2 
Điều kiện x > 10; y > 1 
5Ta có hệ phương trình 












20102
1010
20102
1010
)2)(10(
)1)(10(
yx
yx
yxxyxy
yxxy
yxxy
yxxy
(Sử dụng máy tính) 



4
30
y
x
Kết luận bài toán: 
Bài tập tƣơng tự (HS tự giải) 
Bài tập 1: Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu tăng vận 
tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 3h. Nếu người đó giảm vận tốc đi
10km/h thì đến B muộn hơn dự định 5h. Tính vận tốc, thời gian dự định và quãng 
đường AB 
Bài tập 2: Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu tăng vận 
tốc thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2h. Nếu giảm vận tốc đi 2km/h thì đến 
B muộn hơn dự định 1h. Tính vận tốc, thời gian dự định và quãng đường AB 
Bài tập 3: Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu 
người đó đi nhanh hơn mỗi giờ 10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút. Nếu 
người đó đi chậm hơn mỗi giờ 10km thì tới B muộn hơn dự định 54 phút. Tính 
quãng đường AB 
Bài tập 4: Một ôtô đi từ A dự định đến B. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ 
đến B chậm 2h so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 
1h so với dự định. Tính quãng đường AB và thời gian đi từ A đến B 
Bài tập 5: Quãng đường AB dài 90km, hai ôtô khởi hành cùng một lúc. Ôtô thứ 
nhất đi từ A đến B, ôtô thứ hai đi từ B đến A. Sau 1 giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục 
đi. Xe ôtô thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc của mỗi xe 
Bài tập 6: Quãng đường AB dài 300km. Cùng một lúc xe ôtô thứ nhất xuất phát từ 
A đến B, xe ôtô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ hai xe gặp nhau. 
Tính vận tốc của mỗi xe, biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất 
nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút. 
2. Phƣơng trình bậc hai 
Dạng1: Bài toán cho biết quãng đƣờng yêu cầu tìm vận tốc, thời gian
- Phân tích bài tìm cách giải 
6Chọn vận tốc của đối tượng A làm ẩn x thì 
- Đối tượng B có vận tốc lớn hơn, nhanh hơn, nhiều hơn a (km/h) 
=> Vận tốc của đối tượng B là x + a (km) 
- Đối tượng B có vận tốc nhỏ hơn, ít hơn, đi chậm hơn b (km/h) 
=> vận tốc của đối tượng B là x – b (km/h) 
- Tính thời gian của từng đối tượng tham gia 
- Căn cứ thời gian đối tượng A và B 
 - Thời gian đối tượng A: Đến trước, đi nhanh hơn, nhiều hơn thời gian B là 
m(h) 
=> tA – m = tB 
 - Thời gian đối tượng A: Đến sau, đi châm hơn, ít hơn thời gian B là n(h) 
 => tA + n = tB 
- Sơ đồ tóm tắt cách giải 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Đối tượng A a x 
x
a
Đối tượng B a mx  
mx
a
 
Bài tập minh họa: Hai ôtô đi từ A đến B cách nhau 200km. Biết vận tốc ôtô thứ 
nhất nhanh hơn xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai là 1 
giờ. Tính vận tốc của mỗi xe 
- Phân tích tìm lời giải 
- Bài cho quãng đường AB bằng 200km 
- Vận tốc ôtô thứ nhất lớn hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 10km/h 
- Thời gian ôtô thứ nhất đến B trước ôtô thứ hai là 1 giờ 
- Sơ đồ tóm tắt cách giải 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Ôtô 1 200 x
x
200
Ôtô 2 200 10x 10
200
x 
7Điều kiện x > 10 
Ta có phương trình 10
2001200  xx 
02000102  xx 
0)40)(50(  xx (Sử dụng máy tính đưa về phươg trình tích) 
 x = 50 (thỏa mãn) hoặc x = - 40 (loại) 
Bài tập tƣơng tự: 
Bài tập 1 : Quãng đường từ A đến B dài 90km. Một người đi xe máy từ A đến B. 
Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc 
đi là 9km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính 
vận tốc của xe máy lúc đi từ A đến B. 
Bài tập 2: Quãng đường AB dài 100km. Hai xe máy khởi hành từ A đến B, vận 
tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe hai là 10km/h nên đến trước xe thứ hai 
là 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe 
Bài tập 3: Một người đi từ A đến B cách nhau 100km với vận tốc xác định. Khi 
về, người đó đi đường khác dài hơn đường cũ 20km nhưng với vận tốc lớn hơn vận 
tốc ban đầu là 20km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc 
của người đó lúc đi 
Bài tập 4: Quãng đường AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng lúc và đi từ A.
Do ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 5km/h nên đến B sớm hơn ô tô thứ
hai 45 phút. Tìm vận tốc của ô tô thứ nhất 
Bài tập 5: Một người đi xe đạp từ A đến B dài 36km. Vì phải có công việc gấp để
đến B trước giờ đã định là 36 phút nên người đó phải tăng vận tốc thêm 3km/h.
Tìm vận tốc dự định. 
Bài tập 6: Khoảng cách hai thành phố A và B là 120km. Hai xe máy khởi hành
cùng lúc từ A. Vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h. Vì vậy xe thứ
nhất đến sớm hơn xe thứ hai là 1 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe. 
Bài tập 7: Một người đi từ A đến B có dài 35km. Nếu tăng vận tốc thêm 3km/h thì
đến B sớm hơn 1 giờ 30 phút so với thời gian dự định. Tìm vận tốc dự định 
8Bài tập 8: Hai thành phố A và B cách nhau 180km. Một xe máy đi từ A đến B, sau 
1 giờ 30 phút một ôtô cũng đi từ A đến B nhưng có vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 
là 20km/h. Tìm vận tốc của xe máy, biết hai xe đến B cùng lúc. 
Bài tập 9: Một ôtô đi quãng đường dài 150km với vận tốc đã định. Người đó tính
rằng nếu tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường đó sẽ giảm
được 45 phút. Tính vận tốc dự định của ôtô 
Bài tập 10: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180km. Một ôtô đi từ A
đến B, nghỉ 90 phút ở B, rồi từ B trở về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc về là 10 giờ.
Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5km/h. Tính vận tốc lúc đi của ôtô 
Bài tập 11: Một xe ôtô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận 
tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe 
ôtô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36
phút. Tính vận tốc của mỗi xe 
Bài tập 12: Quãng đường AB dài 48km, trong đó đoạn đi qua khu dân cư là 8km.
Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc xác định. Khi đi qua khu dân cư vận tốc của 
xe giảm 10km/h. Tính vận tốc khi đi qua khu dân cư biết thời gian đi từ A đến B 
hết 1h. 
Dạng 2 Bài toán chuyển động có thời gian, vận tốc dự định 
1) Sơ đồ tóm tắt lời giải 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Dự định 
Thực tế 
Đi lúc đầu 
Nghỉ 
Đi lúc sau 
Chú ý 
- Đến đúng hẹn thì thời gian dự định bằng tổng thời gian trên thực tế 
- Thực tế đến chậm, đến muộn m(h) 
=> tdđ = ttt - m 
- Thực tế đến sớm, đến trước n (h) 
=> tdđ = ttt + n
92) Bài tập minh họa: Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 36km trong 
thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa đường người đó nghỉ 18 phút. Do đó để 
đến B đúng hẹn người đó tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính 
vận tốc lúc đi 
- Phân tích tìm lời giải 
Biết quãng đường AB bằng 36km 
Quãng đường nửa đầu là 18km 
Quãng đường nửa sau là 18km 
Thời gian nghỉ là 18 phút 
Vận tốc nửa sau tăng thêm 2km 
=> Tìm vận tốc lúc đi (dự định) 
- Bảng tóm tắt 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Dự định 36 x 
x
36
Thực tế 
Đi nửa đầu 18 x 
x
18
Nghỉ 0 0 h
10
3'18  
Đi nửa sau 18 x + 2 
2
18
x 
2) Lời giải vắn tắt 
Điều kiện x > 0 
Theo bài người đó đến B đúng hẹn, ta có phương trình 
10
3
2
181836  xxx 10
3
2
1818  xx 
=> 180(x + 2) = 180x + 3x(x + 2) 
 3x2 + 6x – 360 = 0 
 (x - 10)(x + 12) = 0 (Sử dụng máy tính đƣa về phƣơng trình tích) 
 x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = - 12 (loại)
Bài tập 1: Một người đi xe máy từ A đến B dài 60km với vận tốc dự định. Trên 
nửa quãng đường đầu xe đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định 6km/h. Trên nửa 
10
quãng đường sau xe đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định 10km/h. Tính vận 
tốc dự định 
Bài tập 2: Một ôtô đi quãng đường AB dài 150km với thời gian dự định. Sau khi
đi được một nửa quãng đường, ôtô dừng lại 10 phút, do đó để đến đúng hẹn ôtô 
phải tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định. 
Bài tập 3 : Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36km trong thời 
gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút. 
Do đó để đến B đúng hẹn người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường 
còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường. 
Bài tập 4: Một ôtô đi từ A đến B dài 100km. Đi được 40km đầu với vận tốc đã
định. Sau đó ôtô dừng lại 12 phút nên để đến B đúng giờ đã định xe đó phải tăng
vận tốc thêm 10 km/h trong suốt quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định 
Bài tập 5 : Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định 
trước. Sau khi đi được 3
1
 quãng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên 
quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường, biết 
rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. 
Bài tập 6: Một ôtô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong thời gian nhất 
định. Sau đi được 1 giờ ôtô bị tàu chắn 10 phút. Do đó để đến B đúng dự định xe 
phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu. 
Bài tập 7: Một người đi xe máy từ A đến B dài 60km. Sau khi đi được 1 giờ xe bị 
hỏng nên phải dừng lại sửa hết 20 phút. Sau đó người đó đi với vận tốc nhanh hơn
lúc trước là 4km/h trên quãng đường còn lại. Vì vậy người đó đến B đúng hẹn. 
Tính vận tốc ban đầu của xe. 
Bài tập 8: Một xe máy dự định đi từ A đến B cách nhau 148km trong thời gian đã
định. Sau khi đi được 1 giờ xe máy bị tàu chắn 5 phút, do đó để đến B đúng hẹn xe 
phải chạy tăng thêm vận tốc là 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc lúc 
đầu 
Dạng 3: Chuyển động có dòng nƣớc 
Bài toán 1: Tính vận tốc xuôi dòng, ngược dòng 
Vxuôi = Vthật + Vnước 
Vngược = Vthật - Vnước 
11
Gọi vận tốc của tàu (ca nô) là x (km/h), vận tốc của dòng nước là y (km/h) 
Khi đó: Vận tốc xuôi dòng là x + y (km/h) 
 Vận tốc ngược dòng là x – y (km/h) 
Điều kiện x > y > 0 
2) Sơ đồ tóm tắt cách giải 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Lúc đầu 
Xuôi dòng a yx 
yx
a
 
Ngược dòng b yx yx
b
 
Phương trình myx
b
yx
a  
Lúc sau 
Xuôi dòng c yx yx
c
 
Ngược dòng d yx yx
d
 
Phương trình nyx
d
yx
c  
Bài tập minh họa: Trên một khúc sông một canô xuôi dòng 80km, sau đó chạy
ngược dòng 80km hết tất cả 9h. Cũng khúc sông ấy canô xuôi dòng 100km sau đó
ngược dòng 64km cũng hết tất cả 9h. Tính vận tốc riêng của canô và vận tốc của
dòng nước 
- Phân tích tìm lời giải 
Bài cho biết 
Lúc đầu 
- Quãng đường xuôi 80km, quãng đường ngược là 80km 
- Tổng thời gian xuôi và ngược là 9h 
Lúc sau: 
- Quãng đường xuôi 100km, quãng đường ngược là 64km 
- Tổng thời gian xuôi và ngược là 9h 
=> Tìm vận tốc của ca nô và vận tốc dòng nước
12
- Sơ đồ tóm tắt cách giải
 S (km) v (km/h) t (h) 
Lúc đầu 
Xuôi dòng 80 yx yx 
80
Ngược dòng 80 yx yx 
80
Phương trình 98080  yxyx 
Lúc sau 
Xuôi dòng 100 yx yx 
100
Ngược dòng 64 yx yx 
64
Phương trình 964100  yxyx 
Lời giải vắn tắt 
Gọi vận tốc của canô là x (km/h) 
Vận tốc của dòng nước là y (km/h) 
Điều kiện x > y > 0 
Vận tốc xuôi dòng là x + y (km/h) 
Vận tốc ngược dòng là x – y (km/h) 
Ta có hệ phương trình 















16
11
24
11
36256400
45400400
964100
98080
yx
yx
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
Sử dụng máy tính tìm nghiệm yx 
1
 và yx 
1





16
11
24
11
yx
yx
 







4
20
16
24
y
x
yx
yx
Bài tập tƣơng tự:
13
Bài tập 1: Một canô chạy trên sông trong 7h xuôi dòng 108km và ngược dòng 
63km. Một lần khác canô chạy trong 7h xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km. 
Tính vận tốc canô và vận tốc dòng nước. 
Bài tập 2: Một canô chạy xuôi dòng 84km và ngược dòng 50km hết 5h30’. Một 
lần khác canô chạy xuôi dòng 56km và ngược dòng 60km hết 5h. Tính vận tốc 
canô và vận tốc dòng nước 
Bài tập 3 : Một canô chạy trên sông trong 8h, xuôi dòng 81km và ngược dòng 
105km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó, canô này chạy trong 4h, xuôi 
dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng 
của canô, biết vân tốc dòng nước và vận tốc riêng của canô không đổi. 
Bài tập 4: Một canô xuôi dòng 50km, sau đó chạy ngược dòng 30km hết tất cả 4
giờ. Cũng khúc sông ấy canô xuôi dòng 75km sau đó ngược dòng 60km hết 7 giờ.
Tính vận tốc riêng của canô và vận tốc của dòng nước 
Bài tập 5: Hai canô khởi hành từ hai địa điểm A và B cách nhau 85km và đi ngược 
chiều nhau. Sau 1h40’ thì hai canô gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi canô, biết rằng 
vận tốc của canô đi xuôi lớn hơn vận tốc canô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng 
nước là 3km/h (vận tốc của mỗi canô không đổi) 
Bài toán 2: Cho biết : Quãng đường và vận tốc dòng nước hoặc quãng đường
và vận tốc của tàu hoặc canô. Yêu cầu tính thời gian đi xuôi và thời gian đi
ngược. 
- So sánh thời gian đi xuôi và thời gian đi ngược để lập phương trình 
 Sơ đồ tóm tắt cách giải 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Xuôi dòng a mx 
mx
a
 
Ngược dòng a mx  
mx
a
 
Điều kiện x > m 
Bài tập minh họa: Một canô chạy trên dòng sông dài 30km. Thời gian canô xuôi
dòng ít hơn thời gian canô ngược dòng là 1 giờ 30 phút. Tìm vận tốc của canô biết
vận tốc dòng nước chảy là 5km/h 
- Phân tích đề bài
14
Biết quãng đường 30km 
Vận tốc dòng nước là 5km/h 
Biết thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược là 1 giờ 30 phút 
=> Tìm vận tốc của canô 
- Sơ đồ tóm tắt cách giải 
 S (km) v (km/h) t (h) 
Xuôi dòng 30 5x 5
30
x 
Ngược dòng 30 5x 
5
30
x 
Gọi vận tốc của canô là x (km/h) 
Điều kiện x > 5 
Vận tốc canô xuôi dòng là x + 5 (km/h) 
Vận tốc canô ngược dòng là x – 5 (km/h) 
Theo bài thời gian canô xuôi dòng ít hơn thời gian canô ngược dòng là hh 2
3'301  
Ta có phương trình 5
30
2
3
5
30
 xx 
=> 60(x – 5) +3(x +5)(x – 5) = 60(x + 5) 
 60x – 3000 + 3x2 – 75 = 60x + 3000 
 x2 – 2025 = 0 
 (x – 45)(x + 45) = 0 (Sử máy tính) 
 x = 45 (thỏa mãn) hoặc x = - 45 (loại) 
Vậy vận tốc của canô là 45km/h 
Bài tập tƣơng tự: 
Bài tập 1: Một thuyền xuôi dòng sông 50km rồi ngược dòng 48km hết tất cả 13
giờ. Tìm vận tốc của thuyền biết vận tốc của dòng nước là 2km/h 
Bài tập 2: Một canô chạy xuôi một khúc sông dài 72km, rồi ngược dòng khúc 
sông đó 54km hết tất cả 6h. Tính vận tốc của canô, biết vận tốc của dòng nước là 
3km/h
15
Bài tập 3: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50km. Một canô đi từ A, nghỉ 
20 phút ở B rồi quay về A hết tất cả