Chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 - Bất đẳng thức và cực trị - Trường THCS Tiên Du

zPHÒNG GD & ĐT TIÊN DU 
TRƯỜNG THCS TIÊN DU 
 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
 Người thực hiện: Nhóm Toán 
 Đơn vị: TRƯỜNG THCS TIÊN DU 
THÁNG 3 NĂM 2021
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 2
MỤC LỤC 
A. BẤT ĐẲNG THỨC ............................................................................................... 3
I. Kiến thức cần nhớ .................................................................................................. 3
1. Định nghĩa ....................................................................................................... 3
2. Các tính chất .................................................................................................... 3
3. Các bất đẳng thức cơ bản ................................................................................ 4
II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ................................................ 7
1. Phương pháp dùng định nghĩa ......................................................................... 7
2. Phương pháp biến đổi tương đương .............................................................. 10
3. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức ....................................................... 16
4. Phương pháp phản chứng .............................................................................. 49
5. Phương pháp làm trội .................................................................................... 51
III. Một số bài chứng minh bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ....... 55
B. CỰC TRỊ .................................................................................................................. 60
I. Kiến thức cần nhớ................................................................................................... 60
1. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức  , ,...f x y
 ................................................................................................................................ 60
2. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .......... 60
II. Ví dụ minh họa ...................................................................................................... 60
III. Bài tập tự luyện .................................................................................................... 74
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 3
A. BẤT ĐẲNG THỨC 
I. Kiến thức cần nhớ 
1. Định nghĩa 
- Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng A B , A B , A B ,
A B , trong đó A và B là các biểu thức. 
- Ta có: 0A B A B    ; 0A B A B    ; 
0A B A B    0A B A B    
2. Các tính chất 
Ở đây chúng tôi chỉ minh họa các tính chất sau cho bất đẳng thức dạng A < B còn các
bất đẳng thức khác cũng tương tự. 
a) Tính đảo 
A B B A   
b) Tính chất bắc cầu : 
A B
A C
B C
    
c) Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ: 
A B A C B C     (Với C là một biểu thức bất kì) 
A B A C B C     (Với C là một biểu thức bất kì) 
d) Tính chất cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta được bất đẳng thức 
mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 
A B
A C B D
C D
      
e) Tính chất trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được bất đẳng 
thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. 
A B
A C B D
C D
      
 f) Tính chất liên quan đến phép nhân, phép chia : 
*) 
0
A B
AC BC
C
    và 
A B
C C
 
*) 
0
A B
AC BC
C
    và 
A B
C C
 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 4
 g) Tính chất nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều , các vế không 
âm : 
0
0
A B
AC BD
C D
      
h) Tính chất liên quan đến lũy thừa : 
 Với , 0, *A B n  ta có : n nA B A B   
 n nA B A B   nếu n lẻ 
 n nA B A B   nếu n chẵn 
i) Tính chất liên quan đến khai căn : 
Với , 0, *A B n  ta có : n nA B A B   
 j) Nghịch đảo của một bất đẳng thức : 
 Với . 0A B  và A B thì 1 1
A B
 
 Với . 0A B  và A B thì 1 1
A B
 
3. Các bất đẳng thức cơ bản 
a) 2 0a  , a . Dấu “ = “ xảy ra  a = 0 
Tổng quát : 0na  , a và n chẵn. Dấu “ = “ xảy ra  a = 0. 
b) 2 2 2a b ab  ;  2 4a b ab  với mọi a, b. Dấu bằng xảy ra khi a = b. 
c) Các bất đẳng thức liên quan đến tổng bình phương, bình phương của một 
tổng, tích hai số 
    22 22 4a b a b ab    với mọi a, b. Dấu bằng xảy ra khi a b c  . 
 2 2 2a b c ab bc ca     . Dấu bằng xảy ra khi a b c  . 
      22 2 23 3a b c a b c ab bc ca        
Dấu bằng xảy ra khi a b c  . 
d) Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối 
 0,a a  . Dấu “ = “ xảy ra  a = 0 
 ,a a a  . Dấu “ = “ xảy ra 0a  
 ,a a a   . Dấu “ = “ xảy ra 0a  
 Khi b >0 : 
a b b a b   
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 5
a b
a b
a b
     
 a b a b   . Dấu “=” xảy ra  0ab  
e) Bất đẳng thức liên quan đến căn thức 
 0a  , a 0 . 
 Với a, b 0 ta có :  2a b a b   . 
 Dấu bằng xảy ra khi a = b 0 . 
 Với a, b 0 ta có : a b a b   . 
Dấu bằng xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. 
f) Các bất đẳng thức dạng phân thức 
 2a b
b a
  với a, b dương. Dấu bằng xảy ra khi a= b > 0. 
 
22 2
2 2
a b a b      . Dấu bằng xảy ra khi a b . 
 
2 2a b a b
b c
    . Dấu bằng xảy ra khi a b . 
 
22 2 2
3 3
a b c a b c        . Dấu bằng xảy ra khi a b c  . 
 
2 2 2a b c a b c
b c a
     với a, b, c > 0. Dấu bằng xảy ra khi a b c  . 
 1 1 4
a b a b
   với a, b dương. Dấu bằng xảy ra khi a = b > 0. 
 1 1 1 9
a b c a b c
     , với a, b,c dương.Dấu bằng xảy ra khi 0a b c   
g) Bất đẳng thức tam giác 
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: 
 a, b, c >0 
 
a b c a b
b c a b c
c a b c a
            
h) Bất đẳng thức Côsi 
 Nếu a, b là các số không âm thì 
2
a b ab  
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 6
Dạng khác
2
2
a bab      . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
 Nếu ba số a, b, c không âm thì 33
3
a b c abc   
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
Dạng khác 
3
3
a b cabc       . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
i) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki 
 Với hai bộ số bất kì  ;a b và  ;x y ta có: 
    22 2 2 2a b x y ax by    
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho a kx
b ky
  . 
 Với hai bộ số bất kì  ; ;a b c và  ; ;x y z ta có: 
    22 2 2 2 2 2a b c x y z ax by cz       
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho 
a kx
b ky
c kz
  
. 
Hệ quả: 
 Với hai bộ số bất kì  ;a b và  ;x y với x, y > 0 ta có: 
 22 2 a ba b
x y x y
   
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b
x y
 . 
 Với hai bộ số bất kì  ; ;a b c và  ; ;x y z với x, y , z > 0 ta có: 
 22 2 2 a b ca b c
x y z x y z
      
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c
x y z
  . 
Đặc biệt : 
 1 1 4
a b a b
   với a, b dương. Dấu bằng xảy ra khi a = b > 0. 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 7
 1 1 1 9
a b c a b c
     , với a, b,c dương.Dấu bằng xảy ra khi 0a b c   
II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
1. Phương pháp dùng định nghĩa 
1.1. Phương pháp: 
Để chứng minh A B . Ta chứng minh 0A B  hoặc 0B A  . 
1.2. Các ví dụ 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 2 2 3x x  , với mọi x 
Giải 
Xét hiệu  22 2 3 1 2x x x     
Mà  21 0,x x   nên  21 2 0,x x    
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Ví dụ 2 : Cho , 0a b  Chứng minh 
33 3
2 2
a b a b      . 
Giải 
 Xét hiệu
33 3
2 2
a b a b      
3 3 3 2 2 3
3 2 3 2
3 3
2 8
3 3 3 3
8
a b a a b ab b
a a b b ab
    
   
   
  
2 2
2
3
8
3
8
a a b b a b
a b a b
     
  
Vì  2 0, ,a b a b   và , 0a b   0a b  
  23 0
8
a b a b    
Đẳng thức xảy ra 0a b a b     
Vậy với , 0a b  thì   23 0
8
a b a b   . Dấu bằng xảy ra a b  . 
Ví dụ 3 : Chứng minh:     1 2 3 4 1x x x x      . 
Giải
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 8
Ta xét     1 2 3 4 1A x x x x      
    
  2 2
1 4 2 3 1
5 4 5 6 1
x x x x
x x x x
     
      
Đặt 2 25 4 5 6 2X x x x x X        
Ta có  2 1A X X   
  
2
2
2 1
1 0
X X
X
  
   
Đẳng thức xảy ra 1X  hay 2 5 4 1x x    
1 2
5 5 5 5,
2 2
x x    
Vậy    1 2 3 4 1x x x x      . Dấu bằng xảy ra
5 5
2
5 5
2
x
x
   
. 
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng 
2
2
2 2
1
a
a
  với mọi a. 
Giải 
Xét hiệu 
 
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2 2 12
1 1
1 2 1 1
1
2 1 1
1
a a a
a a
a a
a
a
a
     
    
 
 
Vì  22 21 0, 2 1 1 0,a a a      nên  
2
2
2
2 1 1
0,
1
a
a
a
 
  . 
Vậy
2
2
2 2
1
a
a
  . Đẳng thức xảy ra 0a  . 
Ví dụ 5: Cho 3 số a;b;c thỏa mãn a+b+c = 3
2
. Chứng minh a2 + b2 +c2 3
4
Giải 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 9
Ta có: 
2
2 21 1 10 0 (1)
2 4 4
a a a a a            . 
Tương tự ta có: 2 21 1(2); (3)
4 4
b b c c    
Lấy (1) +(2)+(3) được: 
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 3 3 3
4 4 4 4 2 4
a b c a b c a b c a b c                               
Dấu “ =” khi a=b=c= 1
2
. 
Ví dụ 6: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b = 4c. Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 22 2 4 2 4 8a ab b a ac c b bc c c         . 
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bắc Ninh năm 2016 – 2017) 
Giải 
Ta có 
 2 2 2 2 2 2 2 24 3( ) ( ) ( ) 16 2 4a ab b a b a b a b c a ab b c             (1) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 0a b c   
Ta lại có 
       2 2 22 2 2 23 1 1 12 4 2 2 2 2 4 2
4 4 4 2
a ac c a c a c a c a ac c a c             
Tương tự 
       2 2 22 2 2 23 1 1 12 4 2 2 2 2 4 2
4 4 4 2
b bc c b c b c b c b bc c b c             
Do đó 
     2 2 2 2 1 1 12 4 2 4 2 2 4 4
2 2 2
a ac c b bc c a c b c a b c c             (2) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 0a b c   
Từ (1) và (2) suy ra 
2 2 2 2 2 22 2 4 2 4 8a ab b a ac c b bc c c         
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 0a b c   . 
1.3. Bài tập áp dụng 
Bài 1 : Với mọi x, y. Chứng minh rằng 
a) 4 3 4x x  
b) 2 24 4 4 5x y x y    
c) 2 24 4 4 6 4x xy y y    
Bài 2: Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng 
a)  
2
2 2
2
x y
x y
  
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 10
b)  44 4
8
x y
x y
  
Bài 3: Với a, b, c bất kì. Chứng minh rằng 
a) 
22 2 2
3 3
a b c a b c        
b)  4 4 4a b c abc a b c     . 
Bài 4: Chứng minh rằng 2009 2008 2008 2009
2008 2009
   
(Đề thi học kì I lớp 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2008 - 2009) 
Bài 5: Với x, y không âm. Chứng minh     23 3 2 2x y x y x y    . 
Bài 6 :Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh : 
 2 2 2 2 .a b c ab bc ca     
Bài 7: Chứng mỉnh rằng     1 2 3 4 1 0x x x x      với mọi x. 
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số thựuc khác không x, y ta có 
2 2
2 2 4 3
x y x y
y x y x
       
2. Phương pháp biến đổi tương đương 
2.1. Phương pháp: 
Để chứng minh A B ta biến đổi 1 1 2 2 ... n nA B A B A B A B       bất đẳng
thức cuối cùng đúng, các pháp biến đổi là tương đương suy ra bất đẳng thức ban đầu
đúng. 
2.2. Các ví dụ 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 2 3 5 0x x   với mọi x. 
Giải 
 Ta có 
2
2
3 5 0
3 9 112. . 0
2 4 4
x x
x x
  
       
23 11 0
2 4
x       ( Luôn đúng vì
23 0,
2
x x      và 
11 0
4
 ) 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Ví dụ 2: Cho ,a b . Chứng minh rằng : 
2 2 2( 1)a b a b    
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 11
Giải 
Ta có 
2 2 2 2 2 0a b a b      
    2 21 1 0a b     (*) 
Vì    2 21 0, 1 0, ,a b a b     nên bất đẳng thức (*) luôn đúng. 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1. 
Ví dụ3 : Cho , 0a b  . Chứng minh rằng : 
3 3 ( )a b ab a b   
Giải 
Ta có 
3 3 ( )a b ab a b   
   
3 3 2 2
3 2 2 3
0
0
a b a b ab
a a b ab b
    
     
 
  
2 2
2 2
( ) 0
0
a a b b a b
a b a b
    
    
   2 0a b a b    (*) 
Với , 0a b  ta có 0a b  mà  2 0, ,a b a b   nên bất đẳng thức (*) luôn đúng. 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b. 
Ví dụ4: Chứng minh rằng 2 2 1a b ab a b     với mọi a, b. 
Giải 
Ta có 2 2 1a b ab a b        
     
2 2
2 2 2 2
2 1 2
2 2 1 2 1 0
a b ab a b
a ab b a a b b
     
          
     2 2 21 1 0a b a b       (*) 
Vì      2 2 20, 1 0, 1 0, ,a b b a a b       nên bất đẳng thức (*) luôn đúng. 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1. 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d, e, ta luôn có 
 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e        
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lâm Đồng năm 2020 - 2021) 
Giải 
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta được 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 12
 
 
      
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 0
a b c d e a b c d e
a b c d e a b c d e
a ab b a ac c a ad d a ae e
       
        
           
       2 2 2 22 2 2 2 0a b a c a d a e         (Luôn đúng với mọi a, b, c, d, e) 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e. 
Ví dụ 6 : Cho biểu thức 2 2( 2)( 6) 12 24 3 18 36P xy x y x x y y        . Chứng 
minh P luôn dương với mọi giá trị ,x y . 
Giải 
Ta có:       
    
  
   
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 6 12 2 3 6 12
2 6 12 3 6 12
6 12 2 3
3 3 1 2 0, ,
P x x y y x x y y
x x y y y y
y y x x
y x x y
       
      
    
             
Vậy P luôn dương với mọi giá trị ,x y . 
Ví dụ 7: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y khác 0, ta có 
2 2
2 2
x y x y
y x y x
   
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên TP Hồ Chí Minh năm 2007 – 2008) 
Giải 
Ta có 
2 2
2 2
2
2
2 1 0
x y x y
y x y x
x y x y
y x y x
x y x y
y x y x
  
       
           
   2 2 2
2 2 0
x y x xy y
x y
    (*) 
Vì    22 2 2 22 0, , 0x xy y x y x y x y         mà  2 0, ,x y x y   nên bất
đẳng thức (*) luôn đúng. 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = y 0 . 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 13
Ví dụ 8 : Cho , 0;a b a b  Chứng minh 
2 2
a b a b  
Giải 
Ta có 
 2
2 2
2
4 2
0 (*)
a b a b
a b ab a b
a b
 
   
  
Vì a b nên (*) đúng vậy ta cóđiều phải chứng minh. 
Ví dụ 9 : Cho 1 3
4 4
x   . Chứng minh rằng 3 4 1 4 2x x    . 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Nam Định năm 2005 – 2006) 
Giải 
Với 1 3
4 4
x   , ta có 3 4 1 4 2x x    
 23 4 1 4 4
4 2 3 4 1 4 4
x x
x x
    
    
3 4 1 4 0x x    (Luôn đúng vì 3 4 0, 1 4 0,x x x     ) 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra
1
4
3
4
x
x
   
. 
Ví dụ 10 : Cho x > y thỏa mãn xy = 1. Chứng minh rằng 
2 2
2 2x y
x y
  . 
Giải 
Với x > y, ta có
2 2
2 2x y
x y
  
 2 2 2 2 2 2 0x y x y     
 2 2 2 2 2 2 2 2 0x y x y xy       (Vì xy = 1) 
  22 0x y    (Luôn đúng) 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 14
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
6 2
2
6 2
2
x
y
   
. 
Ví dụ 11 : Cho 1, 1x y  . Chứng minh rằng 2 21 1 21 1 1x y xy    . 
Giải 
Ta có 2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
    
       
     
   
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1 0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1 1
0
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
x y y x x y
x y xy
       
      
        
      
2
2 2
1
0
1 1 1
x y xy
x y xy
     (*) 
Vì 1, 1x y  nên 1xy  do đó bất đẳng thức (*) đúng. 
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 1x y  . 
Ví dụ 12: Cho  , , 1;2a b c  thỏa mãn 0a b c   . Chứng minh rằng 
2 2 2 6a b c   . 
Giải 
 Do  , , 1;2a b c  nên    21 2 0 2a a a a      
Tương tự ta có 2 22; 2b b c c    . 
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức ta được 
2 2 2 6 6a b c a b c       (Vì 0a b c   ). 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra (a; b; c) là hoán vị của  1; 1;2  . 
Ví dụ 13: Cho 4, 4a b  . Chứng minh rằng  2 2 6a b ab a b    . 
Giải 
Đặt 4, 4x a y b    . Vì 4, 4a b  nên , 0x y  . 
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 
        2 24 4 4 4 6 8x y x y x y        
 2 2 6 0x y xy x y      (*)
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 15
Do , 0x y  nên bất đẳng thức (*) luôn đúng. 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = y =0 hay a = b = 4 
Ví dụ 14: Cho 1a b c   . Chứng minh 2 2 2 1
3
a b c   . 
Giải 
Dùng phương pháp đổi biến số 
Đặt 1 1 1; ;
3 3 3
a x b y c z      
1 1 1 0
3 3 3
a b c x y z x y z             
Ta có 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
3 3 3
1 2 1
3 3 3
a b c x y z
x y z x y z
                      
       
Dấu bằng xảy ra 0x y z    
Vậy 2 2 2 1
3
a b c   . Dấu bằng xảy ra 1
3
a b c    . 
2.3. Bài tập áp dụng 
Bài 1: Chứng minh     22 2 2 2a b c d ac bd    
Bài 2: Với mọi a, b, c. Chứng minh rằng 
2 2 2 3 2( )a b c a b c      
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a, b, c đều có 2 2 24 4 4 4 8a b c ab ac bc     
Bài 4: Chứng minh rằng     3 3 2 22 a b a b a b    với a,b > 0. 
Bài 5: Cho , 0;a b a b  Chứng minh 
2 2
a b a b  . 
Bài 6: Chứng minh rằng 4
2 2
a b c b
a b c b
    với a, b, c > 0 và
1 1 2
a c b
  . 
Bài 7: Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng : 
a) 1
4
a b a b    
b) 
2 2 21 1 1 1 1 14 1 1 1 1 1 14 4 4
a b b c c a
a b b c c a
                                 
(Đề thi học kì I lớp 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2016 - 2017) 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Bất đẳng thức và cực trị 
Nhóm Toán trường THCS Tiên Du 16
Bài 8: Với hai số thực dương x, y dương. Chứng minh rằng 12
9
xyx y
xy
   . 
Bài 9: Cho  1;9x . Chứng minh rằng 1 9 4x x    . 
Bài 10: Cho  , , 1;3a b c và thỏa mãn điều kiện a + b+ c =6. 
Chứng minh rằng 2 2 2 14a b c   . 
Bài 11: Chứng mỉnh rằng 1x y xy   với 1, 1x y  . 
Bài 12: Với 1, 1a b  . Chứng minh 1 1a b b a ab    . 
Bài 13: Cho x, y > 0 và xy = 1. Chứng minh rằng   
22 2
2 8
x y
x y
  . 
Bài 14: Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a + b =1. Chứng minh rằng
2 2 1
1 1 3
a b
a b
   
Bài 15: Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn
1
1 1 1
xyz
x y z
x y z
     
. Chứng minh rằng trong
ba số x, y, z có một số lớn hơn 1. 
3. Phương pháp sử dụng các bất đẳng th