Đề khảo sát chất lượng HSG môn Toán Lớp 7 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Xuân Giang (Có đáp án)

UBND HUYỆN THỌ XUÂN
TRƯỜNG THCS XUÂN GIANG
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN THI: TOÁN – LỚP 7.
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 2 trang
PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (4,0 điểm)
Câu 1. Kết quả biểu thức A =+ là: 
A. -54 B.-34 C. 58 D. 98
Câu 2. Số hữu tỉ x thỏa mãn: 34- 14x- 122=1116 là
A.1 B. 1; 0 C. 14 D. Không có giá trị thỏa mãn
Câu 3. Tìm x nguyên để (45-x): (x-15) đạt giá trị nhỏ nhất. 
 A.16
 B.14 
 C. 17 
 D.13 
Câu 4. Một bể cá có 6 con cá được đánh số1;4;9;16;25. Bắt ngẫu nhiên một con cá trong bể. Xác suất biến cố “Con cá bắt được là số nguyên tố” là:
 A. 1.	B. 0.	C. 0.5.	D. 0,3.
Câu 5. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 3 con chíp được đánh số Lấy ngẫu nhiên một con chíp ở mỗi hộp, sau đó lấy tích hai số được đánh ở những con chíp đó. Xác suất để tích đó chẵn là bao nhiêu?
 A. B. C. D. 
Câu 6. Cho 45 điểm phân biệt,trong đó có đúng 10 điểm thẳng thẳng hàng. Số đường thẳng đi qua hai điểm trong 45 điểm đó là:
990 B. 988 C. 946 D.945
Câu 7. Cho n đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm, biết rằng tạo thành 90 cặp góc đối đỉnh 
( khác góc bẹt) Số đường thẳng n là?:
A. 9	 B. 10 	 	 C. 11	 D. 12
Câu 8. Cho n là số tự nhiên sao cho 2n+1 và 3n+1 là các số chính phương. Khi đó n luôn luôn chia hết cho?
A. 25	B. 40	C. 24	 D. 48
PHẦN TỰ LUẬN (16,0 điểm)
Câu I. (3,0 điểm) 1. Tính giá trị của các biểu thức: 
a) ; b) 
 b)Cho, 
Chứng minh: 
Câu II. (3,5 điểm) 
Tìm x, biết:
 a, 	
 b, 
Câu III. (3,5đ) 
 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2 – 2xy –2 y = 4 
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và 2a + 1 đồng thời là các số chính phương. Chứng minh rằng a24
Câu IV. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. 
a) Chứng minh rằng: DADC = DABE.
b) Chứng minh rằng: = 600.
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng DAMN đều.
Câu V. (1,0 điểm) Câu V. (1,0 điểm) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức đạt GTLN. Tìm GTLN đó.
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM
Đáp án trắc nghiệm có thay đổi
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (4 điểm) Mỗi câu chọn đúng cho 0,5 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
C
A
A
C
B
D
C
B
PHẦN II: TỰ LUẬN (16 điểm)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
3đ
1; 
Vậy 

0,25
0,25
0,25

.
0,25
0,25
0,25
	
	Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
3,5đ
a, 	
b, 
a, 	=>
0,25
0,25
0,25
0,25
b, 

0,25
0,25
0,25
0,25
2) Vì nên là số chẵn
Mà 
Nên 
 mà là số chẵn
Do a nguyên dương nên 
Nên do nguyên dương.
Vậy 

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 3
3,5đ
1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2 – 2xy –2 y = 4 
Ta có: x2 – 2xy –2 y = 4 
 x2 – 2y(x + 1) = 4
 ó x2 + x – x – 1 –2 y(x + 1) = 4 – 1
 ó x(x + 1) – (x + 1) – 2y(x + 1) = 3
 ó (x + 1)(x – 1 – 2y) = 3
0,25
0,25
0,25
0,25
Ta có: (x +1)(x - 1 - 2y) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1)
x+ 1
3
1
-1
-3
x – 1 - 2y
1
3
-3
-1
x
2
0
-2
-4
y
0
-2
0
-2
Ta có bảng sau:
0,25
0,25
0,25

Vậy có 4 cặp số nguyên (x;y) cần tìm là:
 (2; 0); (0; -2); (-2; 0); (-4; -2)
0,25
2. Vì 2a + 1 là số chính phương lẻ nên 2a + 1 chia cho 8 dư 1
Suy ra 2a chia hết cho 8
Nên a+1 chia 8 dư 1 suy ra a chia hết cho 8 (1)
Ta có (a + 1) + (2a+1) = 3a + 2 chia cho 3 dư 2 
mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên a + 1 và 2a + 1 chia cho 3 cùng dư 1
nên a chia hết cho 3 (2)
Từ (1); (2); 3.4 =24; (3,8)=1 nên a24.


0,5
0,25
0,5
0,25
Câu 4
5đ

0,25
a) Chứng minh rằng: DADC = DABE.
Ta có: AD = AB; và AC = AE
Suy ra: DADC = DABE (c.g.c)

0,25
0,5
0,25
b) Chứng minh rằng: = 600.
Từ DADC = DABE (câu a)
Lại có: (đối đỉnh)
Khi đó xét DBIK và DDAK, suy ra = 600 (đpcm)

0,5
0,5
0,25

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng DAMN đều.
Từ DADC = DABE (câu a) Þ CM = EN và 
Þ DACM = DAEN (c.g.c) Þ AM = AN và 
 = 600. Do đó DAMN đều.

0,25
0,25
0,25
0,25
d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB Þ DBIJ đều Þ BJ = BI và = 600 
Suy ra: , kết hợp BA = BD 
Þ DIBA = DJBD (c.g.c) = 1200 mà = 600 
 = 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE
0,25
0,5
0,25
0,5
Câu 5
1đ
Ta có:
 .
Suy ra 
Nhận thấy đạt GTLN khi đạt GTLN.
Mặt khác, do tử là nên đạt GTLN khi và đạt GTNN.
Ta lại có nên .
Nếu thì (loại).
Nếu thì .
Do đó giá trị dương và nhỏ nhất của là khi ( hay hoặc ).

 0,25
0,25
0,25
0,25