Đề kiểm tra cuối học kỳ II môn Toán Lớp 9 (Phần tự luận) - Năm học 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 BẮC NINH 
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ II
NĂMHỌC 2020-2021 
Môn: Toán - Lớp 9 (Phần Tự luận) 
Thời gian làm bài: 70 phút (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1 (1,5 điểm): 
a) Rút gọn: 3 6 4 ( 0; 1)
11 1
x xP x x
xx x
      
b) Giải hệ phương trình: 4 5
2 1
x y
x y
     
Câu 2 (1,0 điểm): 
Cho Parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = mx - 1. 
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt? 
b) Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để: 2 21 2 2 1 4x x x x  . 
Câu 3 (1,5 điểm): 
a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. 
Một phòng họp có 120 chỗ ngồi, nhưng do có 165 người đến họp nên người ta phải kê
thêm ba dãy ghế và mỗi dãy kê thêm một ghế. Hỏi ban đầu có bao nhiêu dãy ghế, biết rằng
số dãy ghế không quá 20 dãy. 
b) Giải phương trình: 2 24 7 ( 4) 7x x x x     . 
Câu 4 (2,0 điểm): 
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Và điểm C thuộc đường tròn đó
(C A, C B)  , D nằm trên dây BC (D B, D C)  . Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E, tia AC 
cắt tia BE tại F. 
a) Chứng minh rằng FCDE nội tiếp và DA.DE = DB.DC. 
b) Cho biết DF = R. Chứng minh rằng: Tan 2AFB . 
===== Hết ===== 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 BẮC NINH 
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ II 
NĂMHỌC 2020-2021 
Môn: Toán - Lớp 9 (Phần Tự luận) 
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) 
Câu Đáp án Điểm 
1 
(1,5 
điểm) 
a) Rút gọn: 3 6 4 ( 0; 1)
11 1
x xP x x
xx x
      
1,00
   
  
1 3 1 6 4
1 1
x x x x
P
x x
       
  3 3 6 41 1x x x xP x x       
0,5 
  
  
  
1 78 7 7
11 1 1 1
x xx x xP
xx x x x
          
Vậy 7 ( 0, 1)
1
xP x x
x
   
0,5 
b) Giải hệ phương trình: 4 5
2 1
x y
x y
     
0,5 
4 5 4 5 9 9
2 1 4 8 4 4 5
x y x y y
x y x y x y
                   
0,25
9 9 1
4 5 1
y y
x y x
        
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (1; 1). 
0,25
2 
(1,0 
điểm) 
Cho Parabol y = - x2 (P) và đường thẳng (d): y = mx - 1. 
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt ? 
0,5 
Xét phương trình hoành độ điểm chung của (d) và (P):
 
2
2
1
1 0 *
x mx
x mx
  
    
0,25
Dễ thấy a.c = -1 < 0 với mọi giá trị của m  phương trình (*) có 2 
nghiệm phân biệt nên (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m. 
0,25
b) Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để:
2 2
1 2 2 1 4x x x x  . 
0,5 
Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) 
 x1; x2 là nghiệm của phương trình (*). 
Theo Viét ta có: 1 2
1 2. 1
x x m
x x
    
0,25
Ta có:  2 21 2 2 1 1 2 1 24 . 4 4x x x x x x x x m      
Vậy m = 4 thì (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ là x1; x2 thỏa mãn:
2 2
1 2 2 1 4x x x x  .
0,25
3 
(1,5 
điểm) 
a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình. 
Một phòng họp có 120 chỗ ngồi, nhưng do có 165 người đến 
họp nên người ta phải kê thêm ba dãy ghế và mỗi dãy kê thêm một
ghế. Hỏi ban đầu có bao nhiêu dãy ghế, biết rằng số dãy ghế không
quá 20 dãy. 
1,0 
Gọi số dãy ghế trong phòng họp ban đầu là x (dãy ghế)
 *; 20x x  
Số ghế trên mỗi dãy là 120
x
 (ghế) 
Số dãy ghế sau khi kê thêm là x + 3 (dãy) 
Số ghế mỗi dãy lúc kê thêm là 120 1
x
 (ghế) 
Theo bài ra có 165 chỗ ngồi ta có phương trình 120 1 ( 3) 165x
x
      
0,5 
2120 1 ( 3) 165 42 360 0
30( )
12( / )
x x x
x
x L
x T M
         
  
Vậy ban đầu có 12 dãy ghế 
0,5 
b) Giải phương trình: 2 24 7 ( 4) 7x x x x     . 0,5 
Đặt 2 7 ( 0)a x a   
Phương trình trở thành
2
2
2
( 4) 4 0 ( )( 4) 0
7
4 7 4
a x a x a x a
a x x x
a x
       
        
0,25
 2 2 222
7 7 ( )
3;3
7 167 4
x x x x L
x
xx
             
Vậy  3;3x  
0,25
4 
 (2,0 
điểm) 
Vẽ hình +GTKL 
0,5 
a) FCDE nội tiếp và DA.DE = DB.DC. 1,00
 90ACB AEB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0 090 180FCD FED FCD FED FCDEnt
0,5 
Xét ∆ADC và ∆BDE có: 
090
. .
ACD DEB
CDA EDB
AD CD
ADC BDE ADDE BDDC
BD DE
0,5 
b) Cho biết DF = R. Chứng minh rằng: Tan 2AFB 0,5 
Tứ giác CFED và ACEB nội tiếp 
CFD CED
CED CBA
Xét ∆FDC và ∆BAC có: 
0
( );
90
CFD CBA CEA
FCD ACB
2
BA CA
FDC BAC
FD DC
0,25
Vì CFED nôi tiếp AFB CDA Tan Tan 2ACAFB ADC
CD
 0,25 
(Ghi chú: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) 
E
F
D
C
B
O
A