Đề kiểm tra cuối học kỳ II môn Toán Lớp 9 (Phần tự luận) - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH 
(Đề có 01 trang) 
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II
NĂMHỌC 2022-2023 
Môn: Toán 9 (Phần Tự luận) 
Thời gian làm bài: 70 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm) 
1) Giải phương trình sau: 22 7 3 0x x− + = . 
2) Cho phương trình: 2 ( 2) 1 0x m x m− + + + = . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm 
phân biệt 1 2;x x thỏa mãn 3 31 2 28x x+ = . 
Câu 2. (1,0 điểm) 
 Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi 
ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 
1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? 
Câu 3. (2,0 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O . Tiếp tuyến tại B và tại C của 
đường tròn cắt nhau tại D . Từ D kẻ đường thẳng song song với AB , đường thẳng này cắt 
đường tròn tại E và F , cắt AC tại I ( E nằm trên cung nhỏBC ). 
1) Chứng minh BDCO là tứ giác nội tiếp. 
2) Chứng minh 2 .DC DE DF= . 
3) Chứng minh I là trung điểm của EF . 
Câu 4. (1,0 điểm) 
 1) Thực hiện chương trình khuyến mãi tri ân khách hàng, một siêu thị điện máy 
khuyến mãi giảm giá 15% trên 1 chiếc tivi. Sau đó để thu hút khách hàng, siêu thị tiếp tục 
giảm thêm 10% nữa (so với giá đang bán) nên giá bán của chiếc tivi lúc này là 11475000 
đồng. Hỏi giá bán ban đầu của 1 chiếc ti vi là bao nhiêu? 
 2) Cho ,a b là số thực không âm thỏa mãn 2 2 2,a b+  hãy tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức ( ) ( )2022 2022 .M a b a b b a b a= + + +
===== Hết ===== 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH 
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II 
NĂMHỌC 2022-2023 
Môn: Toán 9 (Phần Tự luận) 
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) 
Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của thí sinh phải trình bày chi tiết, chặt 
chẽ. Thí sinh giải cách khác đúng thì chấm điểm thành phần tương ứng. Học sinh làm
đúng đến đâu cho điểm đến đó (nếu quá trình lập luận và biến đổi bước trước sai thì
bước sau đúng cũng không cho điểm). 
Câu Ý Nội dung Điểm 
1 2 
 1 Giải phương trình sau: 22 7 3 0x x− + = 
+ Tính 25 0 =  
0,5 
+ Phương trình có hai nghiêm phân biệt là: 1 2 13; 2x x= = . 
0,5 
2 2 ( 2) 1 0x m x m− + + + = (1) 
Phương trình (1) có 1 ( 2) 1 0a b c m m+ + = − + + + = nên phương trình
có 2 nghiệm 1 21; 1x x m= = + Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 1 2x x hay 
1 1 0m m +   .
0,5 
Để 3 31 2 28x x+ = thì 
3 3
3
1 ( 1) 28
( 1) 27
1 3
2( )
m
m
m
m TM
+ + =
 + =
 + =
 =
Vậy m = 2. 
 0,5 
2 1, 0 
 Gọi thời gian đội xe chở hết số hàng theo dự định là x (ngày) ( 0)x  0,25
Khi đó mỗi ngày đội xe dự định chở được 140
x
 (tấn). 
Do hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 ngày nên số ngày thực tế 
hoàn thành kế hoạch là 1x− (ngày). 
Khi đó mỗi ngày trên thực tế đội xe chở được là 150
1x − (tấn). 
0,25
Vì mỗi ngày chở vượt mức 5 tấn nên ta có phương trình 
150 140 5.
1x x
= +− 
0,25
Giải phương trình trên ta được: 
 4x = − (không thỏa mãn đk); 
 7x = (thỏa mãn đk). 
Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết 7 ngày. 
0,25
Câu
3 2 
1 
0,25 
Chứng minh tứ giác BDCO nội tiếp 
Do DB , DC là hai tiếp tuyến của đường tròn ( )O nên ta có: 
090OBD = , 090OCD = 
0,25 
0180OBD OCD + = suy ra BDCO là tứ giác nội tiếp. 0,25 
2 
Chứng minh 2 .DC DE DF= 
Xét đường tròn ( )O có ,DCE DFC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và 
dây và góc nội tiếp cùng chắn CE nên DCE DFC= 0,25 
Xét DEC và DCF : DCE DFC= ; CDF chung 
Suy ra DEC đồng dạng với DCF 
0,25 
DC DE
DF DC
 =  2 .DC DE DF= (đpcm) 0,25 
3 
Chứng minh I là trung điểm của EF. 
*Chứng minh tứ giác DOIC nội tiếp: 
Vì AB//DF nên DIC BAC= 
Mà 1
2
BAC DOC BOC = =   
DIC DOC = 
Mà: O; I là hai đỉnh kề của tứ giác DOIC 
 tứ giác DOIC nội tiếp 
0,25 
* c/m: 90 .oOID OCD= = 
Vì tứ giác DOIC nội tiếp DIO DCO = 
mà 90oDCO = nên 90oDIO = 
OI EF ⊥ tại I mà EF là dây của (O) nên 
IE = IF (đpcm) 
0,25 
4 1 
Gọi giá bán ban đầu của chiếc tivi là a (đồng) ( )0a  
Giá tiền còn lại sau khi giảm 15% lần thứ nhất là 1785%.
20
a a= (đồng) 
0,25
E
I
F
D
O
A
B
C
4.1 
Giá tiền còn lại sau khi giảm 10% lần thức hai là
17 15390%.
20 200
a a= (đồng) 
 Vì sau khi giảm giá hai lần thì giá còn lại là 11 475 000 đồng nên ta 
có phương trình 153 11 475 000
200
a = 
Suy ra 15 000 000a = (thỏa mãn 0a  ) 
Vậy giá bán ban đầu của mỗi chiếc tivi là 15 000 000 đồng 
0,25 
4.2 
( ) ( )2022 2022 .M a b a b b a b a= + + + 
( ) ( )2023 2023 2022 2023 2022 .M a b a b b a b a = + + + 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số không âm ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
2023 2022 40452023 2022 1 ;
2 2
2023 2022 40452023 2022 2
2 2
b a b a bb a b
a b a a ba b a
+ + +
+  =
+ + +
+  =
0,25 
Từ (1) và (2) suy ra: ( 40202 45 ) (4045 )
2 2
3 a a b bM a b++ +
( ) ( )
2 2 2 22 2
2 2
404580902023 2023
2 2
a b a ba b abM a b
+ + ++ +   = + 
( )2 22023 2023 2023.2 2 2023.M a b M  +    
Đẳng thức xảy ra khi 1.a b= = 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 2 2023 khi 1.a b= = 
0,25