Đề kiểm tra cuối học kỳ II môn Toán Lớp 9 (Phần tự luận) - Năm học 2023-2024 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II
NĂMHỌC 2023 - 2024
Môn: Toán 9 (Phần Tự luận) 
Thời gian làm bài: 70 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2,0 điểm) 
a) Giải hệ phương trình 2 4
2 3 5
x y
x y
    . 
b) Rút gọn biểu thức 1 1 1
1 1
x xP x
x x x
             
 với 0x  và 1x  . 
c) Tìm m để phương trình  2 2 1 2 3 0x m x m     có hai nghiệm 1x ; 2x thỏa
mãn 2 21 2 10.x x  
Câu 2. (1,0 điểm) 
Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự định. Nếu năng suất
tăng lên 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10
sản phẩm mỗi ngày. Hỏi tổ đó đã dự kiến làm bao nhiêu sản phẩm trong một ngày? 
Câu 3 (2,5 điểm) 
Cho đường tròn  , O R . Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia
đối của tia CD lấy điểm ,S SA cắt đường tròn tại M , tiếp tuyến của đường tròn tạiM cắt 
CD ở P , BM cắt CD ở T . 
a) Chứng minh tứ giác AMTOnội tiếp. 
b) Chứng minh rằng P là trung điểm của ST. 
c) Biết PM R , tính .TA SM theo R . 
Câu 4. (0,5 điểm) 
 Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 3ab bc ca abc   . Chứng minh rằng 
 5( ) 12a b ca b c
b c a
      
====== HẾT ======
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II
NĂMHỌC 2023-2024 
Môn: Toán 9 (Phần Tự luận) 
 (Hướng dẫn chấm có 03 trang) 
Lưu ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của thí sinh phải trình bày chi tiết, chặt chẽ.
Thí sinh giải cách khác đúng thì chấm điểm thành phần tương ứng. Học sinh làm đúng đến
đâu cho điểm đến đó (nếu quá trình lập luận và biến đổi bước trước sai thì bước sau đúng
cũng không cho điểm). 
Câu Đáp án Điểm 
1.a 0,75 
2 4 2 4 8 3
2 3 5 2 3 5 2
x y x y y
x y x y x
                 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:    , 2; 3 .x y   
0,5 
0,25 
1.b 0,75 
1 1 1
1 1
x xP x
x x x
             
 với 0x  và 1x  . 
 2 2
1 1 1
1 1
1 ( 1) 1
1 1
4 1. 4
1
x xP x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
             
         
   
0,5 
Vậy 4P   với 0; 1x x  0,25 
 1.c 0,5 
 Xét phương trình  2 2 1 2 3 0x m x m     có 
1 2( 1) 2 3 0a b c m m        
Phương trình có 2 nghiệm là -1 và 2 3m . Không mất tính tổng quát giả sử
1 21; 2 3x x m    
0,25 
 Để 2 2 2 2 21 2 10 ( 1) (2 3) 10 (2 3) 9x x m m          
   2 3 3; 3 0; 3m m       . Vậy  0; 3m  0,25 
2 1,0 
Gọi số sản phẩm theo dự kiến làm trong một ngày là x (sản phẩm) 
Điều kiện : ; 10x x  0,25 
Số ngày hoàn thành công việc khi năng suất tăng 10 sản phẩm là: 350
10x  
(ngày) 
0,5
Số ngày hoàn thành công việc khi giảm năng suất 10 sản phẩm là: 350
10x 
(ngày) 
Vì khi tăng năng suất hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất ta có
phương trình 350 3502
10 10x x
   
2 3600 60x x    (vì 10x  ). 
Tổ đã dự kiến làm 60 sản phẩm trong một ngày. 
0,25 
3.a 1,0 
GT,KL 0,25 
Ta có 090AMB  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); 
Vì 090CD AB TOA   0,25 
Xét tứ giác AMTO có 0 0 090 90 180AMT TOA    suy ra tứ giác AMTO
nội tiếp (đpcm) 0,5 
 3.b 1,0 
Vì tứ giác AMTO nội tiếp (1)MAO MTP  ; 
Vì PM là tiếp tuyến của (O) (2)PMT MAO  
Từ (1) và (2) MTP PMT PMT   cân tại P (3)PM PT 
0,5 
Mặt khác 0 090 90AMB SMT   (hai góc kề bù) 
0
0
90
90
MSP MTP
SMP PMT
    
MSP SMP SMP   cân tại P (4)PS PM  từ (3) và (4)
PS PT  
Suy ra P là trung điểm của ST
0,5 
C
T
M
O
S
A B
D
P
 3.c 0.5 
Vì tứ giác AMTO nội tiếp SAT SOM  
Xét SAT và SOM  có SAT SOM ; AST chung
( )SAT SOM g g  ∽ 
0,25 
. .TA ST TA SM ST OM
OM SM
   
Mặt khác ta có 2ST R (do 2 2ST PM R  ); OM R 
2. . 2TA SM ST OM R   . Vậy 2. 2TA SM R 
0,25 
4 0,5 
Ta có 
1 1 13 3ab bc ca abc
a b c
       
Theo AM- GM ta có 3 31 1 1 13 ; 3 ; 3b a ca b c abc
a b c abc a c b
         
1 1 13( ) ( ) 9 3a b c a b c a b c
a b c
                
2( ) 9b a ca b c
a c b
       
0,25 
5( ) (3 1 ) (3 1 ) (3 1 ) 12a b ca b c a b c
c a b
            
1 1 1 1 1 15( ) (3 ) (3 ) (3 ) 12a b c a b c
a c b a c b
            
5( ) 12a b ca b c
b c a
       (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra khi 1a b c  
0,25