Chuyên đề Biến đổi các biểu thức dấu căn - Nguyễn Trọng Trình

KIẾN THỨC LÝ THUYẾT
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
a, Tính chất về phân số (phân thức): 
b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 
2. CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI
1) Nếu	9) (với và )	
2) Để có nghĩa thì 	10) (với B > 0)
3) 	11) 
4) (với và )	(với và )
5) (với và)	12) 
6) ()	(với và )
7) (với và )	
(với và )	
PHÂN DẠNG TOÁN CHỨA CĂN
A. TÌM HIỂU VỀ CĂN BẬC HAI.
I. LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho
2. Ký hiệu: 
¨ a > 0:	: Căn bậc hai của số a
	: Căn bậc hai âm của số a
¨ a = 0:	
3. Chú ý: Với 
4. Căn bậc hai số học:
¨ Với số được gọi là căn bậc hai số học của 
¨ Phép khi phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số a không âm.
So sánh các căn bậc hai số học: Với 
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1.1 Điền vào ô trống trong bảng sau:

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20











1.2 Tính:
a) 	b) 	c) 	d) 	
e) 	f) 	g) 
1.3 Trong các số sau, số nào có căn bậc hai:
a) 	b) 1,5	c) 	d) 
1.4 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
(HD: Học sinh chứng minh biểu thức không âm)
1.5 Dùng kí hiệu viết nghiệm của các phương trình dưới đây, sau đó dùng máy tính để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân.
a) 	b) 	c) 	d) 
a) 	b) 	c) 	d) 
B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CÓ NGHĨA, TỒN TẠI)
I. LÍ THUYẾT
1. Căn thức bậc hai:
P Nếu A là một biểu thức đại số thì gọi là căn thức bậc hai của A.
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
P các định (có nghĩa) khi 
@ Chú ý:
a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
§ A(x) là một đa thức luôn có nghĩa.
§ có nghĩa 
§ có nghĩa khi 
§ có nghĩa 
§ có nghĩa 
b) Với M > 0, ta có:
§ 
§ hoặc 
2. Hằng đẳng thức 
P Định lí: Với mọi số a, ta có: 
P Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có:
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Bài 2: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Bài 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) không có
Bài 4: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) hoặc 	
e) hoặc 	f) hoặc 
Bài 5: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
ĐS: 	a) 	b) hoặc 	c) 	
d) 	e) 	f) 
C. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ.
 Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản.
1. Phương pháp: 
Chú ý: Xét các trường hợp , để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Dễ dàng đặt thừa số chung.
Khai phương một tích: (với và )
Nhân các căn bậc hai: (với và )
Khai phương một thương: (với và)
Chia hai căn bậc hai: (với và)
Ÿ Với và thì + Với và thì 
Ÿ Với và thì + Với và thì 
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 1: Rút gọn 
Giải
Bài tập 2: Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: 
Giải
Có 
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức : 
Giải
3. Bài tập (có đáp án)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức 
Bài tập 02. Rút gọn các biểu thức sau: 
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 05. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 06. Rút gọn các biểu thức sau: 
Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau: 
Bài tập 08. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 09. Rút gọn các biểu thức sau: 
Bài tập 10. Rút gọn các biểu thức sau: 
4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn)
Bài tập 1: Rút gọn
1.
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 	h) 
2. 
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 	h) 
3. 
a) 	 b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 
4.
a) 	b) 	c) d) 	e) 	
5.
a) 	b) 	c) d) 	e) 	
6.
a) 	b) c) 	d) 
7.
a) 	b) 
Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
ĐS: a) - 0,1 	b) 8 	c) 
d) 	e) 	f) 
Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
a) 	f) 
ĐS: a) 6 	b) 	c) 1 	d) 4 	e) 	 f) 
 Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức”
1. Phương pháp: 
Chú ý: Xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Sử dụng các hằng đẳng thức:
Với m, n > 0 thỏa mãn và 
ta có: 
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 1. 
a) Rút gọn biểu thức sau: 
b) Rút gọn biểu thức: 
Giải
a) 
b) 
3. Bài tập (có đáp án)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức sau: 
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức sau: 
Bài tập 03. Rút gọn các biểu thức: 
Bài tập 04. Tính 
Bài tập 05. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 07. Tính giá trị của biểu thức: và 
4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn giải)
Bài tập 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) 	 b) c) 
d) e) 	 f) 
g) 	h) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	g) 	h) 
Tương tự: 
Bài tập 2. Thực hiện các phép tính sau:
a) b) 
c) d) 
e) 
I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng 
1. Phương pháp:
Ÿ Với và thì 	 + Với thì 
Ÿ Với và thì 
Ÿ Với và thì 
2. Ví dụ minh hoạ: 
Bài tập 01. (PP cơ bản: khai phương, rút gọn) 
Rút gọn biểu thức sau 
Giải
Bài tập 02. (PP quy đồng) 
Rút gọn biểu thức 
Giải
Bài tập 03. (PP đặt thừa số chung) 
Rút gọn biểu thức : 
Giải
Bài tập 04. (PP liên hợp và đặt thừa số chung): 
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: 
Giải
Bài tập 05. (PP liên hợp và hằng đẳng thức trong căn): 
Rút gọn biểu thức: 
Giải
3. Bài tập (có đáp án) 
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức sau: 
Bài tập 05. Tính: 
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức: 
 Bài tập 07. Cho . Tính giá trị của biểu thức 
Bài tập 08. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 09. Rút gọn biểu thức: 
Bài tập 10. Rút gọn biểu thức sau: 
4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn giải) 
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức:
a) 	b) 
c) 	d) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) . Tách 
Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) -3	e) 	f) 1
 Loại 4: Chứng minh đẳng thức số. 
1. Phương pháp: 
Sử dụng các phép biến đổi để biến đổi VT hoặc VP để được đẳng thức bằng nhau. 
2. Ví dụ minh hoạ: 
Bài tập 01: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 	b) 
c) 
Giải: 
a) Biến đổi vế trái ta có:
Vậy đẳng thức đã được chứng minh. 
b) Biến đổi vế trái ta có:
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
c) 
Biến đổi vế trái ta có: 
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
3. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn) 
Bài tập 01: Chứng minh:
a) b) 
c) d) 
Bài tập 02: Chứng minh các số sau đây là số nguyên:
a) b) 
c) 
Bài tập 03: Chứng minh rằng:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài tập 04: Chứng minh các đẳng thức sau:
1.
a) b) 
c) d) 
e) 
 Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức 
1. Phương pháp: Với 
Một số tính chất của bất đẳng thức:
1) 
2) 
3) (cộng hai vế với c)
(cộng hai vế với - c)
(cộng hai vế với - b)
(cộng hai vế với - b)
4) 
5) (nếu c > 0; giữ nguyên chiều)
(nếu c < 0; đổi chiều)
6) 
7) 
2. Ví dụ minh họa 
Bài tập 1: So sánh
a) và b) và 
Giải
a) và 
Vậy 
b) Ta có và 
3. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn) 
Bài tập 01: So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 1 và 	b) 2 và 	c) 6 và 
d) 7 và 	e) 2 và 	f) 1 và 
g) và 10 	h) và -12 	i) -5 và 
 j) và 	k) và 	l) và 
m) và 5 	n) và 4 	o) và 7
Bài tập 02: So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) và 1	b) và 
Bài tập 03: So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 9 và 	b) và 3
c) 16 và 	d) và 2
Bài tập 04: So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) và 	b) 20 và 
c) và 	d) và 
e) và 	f) và 
g) và h) và 
Bài tập 05: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) 	b) 
Bài tập 06: Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:
a) 	b) 	c) 
d) 	e)
I.6: Loại 6: Căn bậc ba. 
1. Phương pháp
Ÿ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho
Ÿ Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
Ÿ Ÿ Ÿ Với ta có: 
Áp dụng: 
và các hằng đẳng thức:
Tính chất:
Với , ta có 
2. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn) 
Bài tập 01. Tính:
a) b) 
Bài tập 02. Thực hiện các phép tính sau:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
ĐS: a) 	b) 	c) – 3 	d) 	e) 5
Bài tập 03. Thực hiện các phép tính sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
ĐS: a) A = 1. Chú ý: 	b) B = 3. Chú ý: 
c) C = 1. Chú ý: 
d) D = 1. Đặt . Tính 
DẠNG 2: CÁC DẠNG TOÁN CĂN CHỨA CHỮ (CHỨA ẨN) 
1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ( Cơ bản)
 ZP Loại 1: Phương trình trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức.
Cách 1: với 
Cách 2: với với 
Phương pháp: Để giải dạng phương trình này điều cơ bản là phải viết được biểu thức dưới dấu căn ở dạng bình phương rồi sử đưa ra ngoài dấu căn để trở thành phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng phương pháp bình phương 2 vế của phương trình.
Lưu ý: Nếu thì phương trình vô nghiệm
Ví dụ minh họa: 
Bài 1: Giải phương trình 
Giải: 
Vậy hoặc là nghiệm của phương trình
Bài 2: Giải phương trình
Giải: . Vậy là nghiệm của phương trình.
ZP Loại 2: Phương trình dạng 
Phương pháp giải 
Ví dụ minh họa: 
Bài 3: Giải phương trình: 
Giải: 
Ta có: 
ZPLoại 3: Phương trình chứa biểu thức dưới dấu căn không viết được dưới dạng bình phương (trong phương trình chỉ chứa một căn thức)
 (hoặc dạng , lúc này )
Cách giải 1: (Sử dụng phương trình hệ quả) 
ĐK: 
Bình phương hai vế phương trình (1) ta có pt hệ quả: giải tìm x= ? 
Thế vào phương trình (1) xem có thỏa mãn hay không. 
Kết luận nghiệm của phương trình (1) 
Cách giải 2: (Sử dụng phép biến đổi tương đương)
P Lưu ý: Khi phương trình (1) vô nghiệm.
Ví dụ minh họa: 
Bài 4: Giải phương trình: 
Giải: (HD cách thường dùng)
Điều kiện 
Kết hợp với điều kiện đầu bài ta được nghiệm của phương trình là 
Bài 5: a) 	b) 	c) 
Giải:
a) Cách 1: (Sử dụng pt hệ quả)
Ÿ ĐK: 
Ÿ Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt: 
Ÿ Thế vào pt đã cho thỏa mãn
Ÿ Vậy pt có nghiệm
Cách 2: Vì hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần giải như sau: 
Ÿ 
Ÿ Vậy pt có nghiệm . 
b) Cách 1: (Sử dụng phương trình hệ quả) 
Ÿ ĐK: 
Ÿ PT(b)
Ÿ Ta thấy thỏa mãn điều kiện nhưng thế vào pt (b) không thỏa mãn 
Ÿ Vậy pt (b) vô nghiệm. 
Cách 2: ( Chỉ cần để ý ) nên pt (b) vô nghiệm. 
c) Cách 1: (Sử dụng phương trình hệ quả) 
Ÿ Ta có: 
Ÿ Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt: 
Ÿ Thếvàvào pt đã cho chỉ cóthỏa mãn 
Ÿ Vậy pt có nghiệm. 
Cách 2: (Sử dụng phương trình tương đương) 
Ÿ Ta có: 
 Ÿ Vậy pt có nghiệm .
Đôi lời: Nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải thử lại nghiệm (tránh trường hợp xuất hiện nghiệm ngoại lai), còn phương pháp giải theo phương trình tương đương có phần ưu điểm là tiện lợi hơn, (không cần phải thử lại nghiệm) nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải thử lại
Chúng ta cần phân biệt rằng tùy theo đặc thù của phương trình chứa căn mà ta có thể chọn cách giải 1 hoặc 2 cho phù hợp.
Vì vậy sau này chúng ta sẽ tiếp cận nhiều bài toán chứa căn thức thì ta mới cảm nhận được sự sâu sắc trong mọi khía cạnh của bài toán lúc đó ta mới thấy rõ mỗi phương pháp điều có những ý nghĩa đặc sắc riêng của nó. 
ZP Loại 4: Phương trình chứa nhiều căn thức, các căn thức có thể đưa về dạng giống nhau.
với 
Sau khi rút gọn đưa về giải phương trình Loại 3 
Ví dụ minh họa:
Bài 6: Giải phương trình: 
Giải: Điều kiện
	(Thỏa mãn điều kiện ). Vậy pt có nghiệm là x=2.
Bài tập tự luyện (Không có hướng dẫn) 
Bài tập 1: Giải phương trình:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	k) 
l) 
Bài tập 2: Giải phương trình:
1.
a) 	 b) c) 	d) 
e) 	 f) g) 	h) 
2.
a) 	b) c) 	d) 
3.
a) 	b) 
Bài tập 3: Giải các phương trình:
a) và 	b) và 
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
1.
a) b) 
c) d) 
2.
a) 	b) c) 	
d) e) 	 f) 
g) 	h) 
3.
a) 	b) c) 	
d) e) 	 f) 
g) 	h) 
4.
a) b) 
c) d) 
5.
a) b) 
c) d) 
2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN 
Lí thuyết: 
Cho. Ta có các công thức biến đổi sau:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức 
1. Ví dụ minh hoạ 
Bài 1: Rút gọn biểu thức: (với )
Giải:
với ta có:
2. Bài tập (có hướng dẫn giải)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức với ab ≠ 0 
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức với 2 ≤ x < 3 
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1
Bài tập 04: Cho biểu thức (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A. 
Bài tập 05. Cho biểu thức: 
Bài tập 06: Rút gọn biểu thức ( với ) 
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: 
1. Ví dụ minh hoạ: 
Bài 1. Rút gọn biểu thức 
Giải
2. Bài tập (có hướng dẫn giải) 
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1 
Bài tập 03. Cho biểu thức . Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G. 
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1. 
Bài tập 05. Rút gọn biểu thức với 
Bài tập 06. Rút gọn biểu thứcvới x > 0 và x ≠ 4.. 
Bài tập 07. Rút ngắn biểu thức: 
Bài tập 08. Rút gọn các biểu thức sau: với x > 0 và x ≠ 4 
Bài tập 09. Rút gọn biểu thức (với và ).
Bài tập 10. Rút gọn biểu thức: 
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng. 
Ví dụ minh hoạ: 
Bài 1. Rút gọn biểu thức với 
Giải: 
Với điều kiện đã cho thì
2. Bài tập (có hướng dẫn giải) 
Bài tập 01. Chứng minh rằng: với và 
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: với a, b, là số dương.
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức với a ≥ 0, a ≠ 25
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: , với a ≥ 0; a ≠ 1 
Bài tập 05. Rút gọn biểu thức: với a ≥ 0; a ≠ 1
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức: với a ≥ 0; a ≠ 1
Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổi): 
Bài tập 08. Cho biểu thức 
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P. 
Bài tập 09. Cho biểu thức 
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A 
Bài tập 10. Cho biểu thức . Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ 
Sau khi rút gọn bài toán chứa căn xong chúng ta thường gặp các ý phụ. Các bài toán ý phụ của bài toán chứa căn gồm: 
Bài toán 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng một giá trị cho trước) 
Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình. Sau đó ta đi giải phương trình hoặc bất phương trình đó. (Xem Dạng 1 – Loại 1) 
Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước. 
Thay giá trị cho trước của ẩn vào biểu thức đã được rút gọn rồi tính. 
Bài toán 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên. 
* Hay dùng: Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng của một số nguyên và một biểu thức có tử là một số nguyên 
Cho mẫu là ước của tử suy ra ẩn.
 Các phương pháp cụ thể: 
1. Tách phần nguyên: 
 Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó nhận giá trị nguyênB nhận giá trị là ước nguyên của k. Vì vậy ta cần tìm các ước ki của k và giải các phương trìnhrồi tìm các giá trị nguyên của biến. 
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thứcnhận giá trị nguyên? 
Giải: Ta có . 
Khi ta có , vậy nhận giá trị nguyên 
nhận giá trị là ước nguyên của 3 
 (thoả mãn)
Vậy với thì biểu thức nhận giá trị nguyên. 
 2. Khi phần dư không chỉ là một hằng số, mà phần dư là một biểu thức của biến, bậc nhỏ hơn bậc của B? 
Khi đó ta viết . Khi đó sử dụng tính chất chia hết của số nguyên để giải. Khi giải xong bắt buộc phải có bước thử lại. 
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên 
Giải: Giả sử tồn tại để 
Thử lại: với x = -1 thì biểu thức nhận giá trị (loại ) 
 với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị 
với x = 1 thì biểu thức nhận giá trị 
Vậy với x = 0; 1 thì biểu thức nhận giá trị nguyên. 
3. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0) 
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. 
Giải: 
Ta có: 
Với ta có nên nhận giá trị nguyên. 
Giả sử là 1 giá trị của biểu thức. Khi đó tồn tại x để 
 phương trình: có nghiệm x.
 (1) có nghiệm 
+) Xét phương trình có nghiệm x = 0 
+) Xét phương trình có nghiệm 
Do đó điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Những giá trị nguyên của y có thể đạt được là 
+) Với y = -2 ta có phương trình: 
+) Với y = -1 ta có phương trình: 
 không chính phương phương trình có nghiệm (loại) 
+) Với 
Vậy x = 0 hoặc x= -1 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
4. Sử dụng miền giá trị của biểu thức 
Ví dụ: Tìm x để đạt giá trị nguyên 
Giải: 
Ta có nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên. Mà nên . Vậy các giá trị nguyên có thể có của là 1, 2, 3, 4 
*) khi đó C = 0 	*) khi đó C = -1 
*) khi đó C = -2 	*) khi đó C = -3 
Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1, -2, -3 tại giá trị tương ứng của x là 3, 1, , 0 
(Lưu ý: Ở đây học sinh có thể nhầm là x + 1 là ước của 4. Nhưng do nên x + 1 có thể ra là một số không nguyên, tức không phải là ước của 4. Thông thường ta phân cách làm như sau: Cách sử dụng Ước khi đề bài có tìm để . Cách sử dụng miền giá trị khi đề cho là tìm x để )
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
- Hay dùng: Biến đổi biểu thức về dạng hoặc 
Các phương pháp cụ thể 
1. Áp dụng hằng đẳng thức: để biến đổi biểu thức về dạng: 
* suy ra minA = a khi f(x) = 0 
* suy ra maxB = b khi f(x) = 0 
2. Áp dụng tính chất: để tìm GTNN 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
3. Áp dụng tính chất: để tìm GTLN 
Dấu ‘=’ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0 
4. Áp dụng bất đẳng thức: để tìm GTLN. 
Dấu ‘=’ xảy ra khi hoặc 
5. Áp dụng bất đẳng thức: để tìm GTNN 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi hoặc 
6. Áp dụng bất đẳng thức CôSi: 
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì 
 Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b 
+ Với thì 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
Từ đẳng thức (1) ta suy ra: 
- Nếu ( không đổi) thì 
- Nếu (không đổi ) thì 
Từ đẳng thức (2) ta suy ra: 
- Nếu (không đổi) thì 
- Nếu (không đổi) thì 
7. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là 
Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép 
CÔNG THỨC NÂNG CAO THỰC HIỆN TRONG BIẾN ĐỔI CĂN THỨC: 
1. Ví dụ minh hoạ 
Bài tập 01: Đề thi Tuyển Sinh vào 10 năm 2018 – 2019 Hà Nội 
Cho hai biểu thức và với 
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9 (loại bài toán 2) 
b) Chứng minh 
c) Tìm tất cả các giá trị của x để (loại bài toán 1) 
Giải 
a) Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có 
. 
b) 
c) 
x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì 
Bài tập 02: Đề thi Tuyển Sinh vào 10 năm 2018 – 2019 Hà Nam 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Cho biểu thức với . Rút gọn B. Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên. (bài toán 3) 
Giải: 
a) Rút gọn 
b) 
Để .	
Khi đó ta có bảng giá trị 

-11
-1
1
11

-2
8
10
20

Không thoả mãn
Thoả mãn
Thoả mãn
Thoả mãn
Vậy thì 
Bài tập 03: Đề thi Tuyển Sinh chuyên chung vào 10 năm 2018 – 2019 Thái Bình 
Cho biểu thức: 
 (với) 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tìm x sao cho . (loại bài toán 1) 
c) Với , tìm giá trị nhỏ nhất của . (loại bài toán 4)
Giải: 
a) 
b) 
c) 
 ( Do và côsi) 
Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 21 khi . 
2. PHẦN BÀI TẬP (Có hướng dẫn giải) 
Bài 1: Tuyển sinh Hà Nam năm 15-16 
Cho biểu thức 
 (với x ≥ 0 và x ≠ 4). Rút gọn B và tìm x để B = 1. 
Bài 2: Tuyển sinh Hà Nam năm 16-17. 
Rút gọn: với 
Bài 3: Tuyển sinh chuyên Hà Nam năm 14-15 
Cho biểu thức 
 (với ) 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tính giá trị biểu thức P khi 
Bài 4: Tuyển sinh chuyên chung Hà Nam năm 15-16 
Cho biểu thức 
 (với và ) 
a) Rút gọn biểu thức Q. 
b) Tính giá trị biểu thức Q khi 
Bài 5: Tuyển sinh Hà Nội năm 13-14 
Với x > 0, cho hai biểu thức và 
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 
2) Rút gọn biểu thức B. 
3) Tìm x để 
Bài 6: Tuyển sinh Lào Cai năm 13-14 
Cho biểu thức: Với 
a) Rút gọn P 
b) So sánh giá trị của P với số 
Bài 7: Tuyển sinh Nam Định năm 13-14 
Cho biểu thức với x > 0 và x khác 1. 
1) Rút gọn biểu thức A. 
2) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên. 
Bài 8: Tuyển sinh Hà Nội năm 14-15 
1) Tính giá trị của biểu thức khi x = 9 
2) Cho biểu thức với x > 0 và x khác 1 
a) Chứng minh rằng
b)Tìm các giá trị của x để 
Bài 9: Tuyển sinh Nghệ An năm 14-15 
Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A 
b) Tìm tất cả các giá trị của x để .
Bài 10: Tuyển sinh Thái Bình năm 14-15 
Cho biểu thức A: 
1. Rút gọn biểu thức A. 
2. Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên. 
 BÀI TOÁN TỔNG HỢP – TỰ GIẢI. (Sưu tầm) 
1.1 Rút gọn biểu thức: 
a) b) , với a > 0, a ≠ 4 
TS lớp 10 TPHCM 06 - 07 	ĐS: 
1.2 Rút gọn biểu thức: 
a) b) , với a > 0, a ≠ 1 
TS lớp 10 chuyên TPHCM 06 - 07 	ĐS