Chuyên đề Rút gọn biểu thức đại số và các bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ: 
RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai số học
- Căn bậc hai của số thực a không âm là số thực x sao cho .
 * Chú ý:
 +) Số dương a có đúng hai căn bậc hai, là hai số đối nhau:
- Số dương kí hiệu là 
- Số âm kí hiệu là . 
 +) Căn bậc hai của số 0 là 0.
 +) Số âm không có căn bậc hai.
- Với số a không âm, số được gọi là căn bậc hai số học của a.
- Ta có 
- So sánh hai căn bậc hai số học: .
2. Căn thức bậc hai
- Với là một biểu thức đại số, ta gọi là căn thức bậc hai của .
- Biểu thứcxác định (hay có nghĩa) khi lấy giá trị không âm.
- Hằng đẳng thức 
3. Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương
- Khai phương một tích: 
- Nhân các căn bậc hai: 
- Khai phương một thương: 
- Chia căn bậc hai: 
4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với và thì 
 Với và thì 
- Đưa thừa số vào trong dấu căn: Với và thì 
 Với và thì 
- Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai: Với và thì 
- Trục căn thức ở mẫu :
Với thì 
Với và thì 
Với thì = 
5. Căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số thực a là số thực x sao cho: kí hiệu là 
- Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba. Căn bậc ba của số dương là số dương; của một số âm là số âm; của 0 là 0.
- Các công thức liên quan đến căn bậc ba:
 với 
B. DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
B.1 RÚT GỌN BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN
1. Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A=12+27-48
B=45+245-80
C=58+50-218

D=23+327-300
E=20-45+25
F=125+445-320

G=23-527+412:3
H=(350-518+38)2
Nhận xét: đây là dạng toán dễ, đa phần áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán
2. Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức A2=|A|
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
3-222+3+222
3+22-1-22
5-262-5+262

5-22+5+22
2-32+1-32
1+22-5+22


Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối A2=A=A nếu A≥0-A nếu A<0
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau
4+23
6-25
4-12
5-26
19-83
9-45
8-215
4-23-7+43
5+26-5-26
6+25-6-25
7+13-7+13
7-210+20+128
17-122+9+42
2+3-2-3
7-210-7+210
24+85+-45
6-42+22-122
21-123-3
5-3-29-125
13+302+9+42


3. Biểu thức rút gọn tổng hợp
Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:
A=6+255+1+5-263-2
B=35-2+46+2+16+5
C=12-3+7-43
D=12+3+26-23+3
E=15+26-15-26
F=3+53-5+5-35+3
G=33-423+1-3+45-23
H=12+3-5-13+2+5
I=6-21-3-55:15-2
K=23-3+13+486-2
L=11+2+12+3+13+4+.+199+100


B.2 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA BIẾN
1. Phương pháp giải: 
 B1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức (nếu đề bài chưa cho). Sau đó phân tích các mẫu thành nhân tử, đổi dấu (nếu cần).
 B2: Quy đồng mẫu các phân thức và thực hiện các phép toán cộng, trừ phân thức theo quy tắc (nếu có)
 B3: Rút gọn phân thức thu được và kết luận.
GV nên nêu chú ý cho học sinh khi làm dạng bài này như sau:
- Rút gọn từng phân thức là các hạng tử của biểu thức (nếu có thể) trước khi quy đồng mẫu.
- Yêu cầu “Rút gọn biểu thức P” có thể được thay bởi “Chứng minh P = ...” 
Ta có thể chia bài toán rút gọn biểu thức thành các nhóm bài tập như sau:
2. Một số dạng biểu thức thường gặp:
Ta có thể chia bài toán rút gọn biểu thức thường gặp thành các nhóm bài tập như sau:
2.1. Nhóm 1: Mẫu là các biểu thức có dạng liên hợp bậc hai
Lưu ý cho học sinh khi mẫu là các biểu thức có dạng thì chọn mẫu chung là x – 1; hoặc thì chọn mẫu chung là x – 4; ...
Ví dụ 1: Cho biểu thức với 
1.1. Rút gọn biểu thức P.
1.2. Chứng minh 
Hướng dẫn:
1.1. 
Vậy với 
1.2. Làm tương tự 1.1.
Ví dụ 2: Cho biểu thức với 
1.1. Rút gọn biểu thức A 
1.2. Chứng minh A = 
Hướng dẫn:
.=.
A = 
Vậy A = .
1.2. Làm tương tự 1.1.
2.2. Nhóm 2: Mẫu là các biểu thức có dạng nhân tử
Lưu ý cho học sinh khi mẫu là các biểu thức có dạng thì chọn mẫu chung là 
Ví dụ: Với x > 0, cho hai biểu thức: và .
1.1. Rút gọn biểu thức B.
1.2. Chứng minh A : B = 
Hướng dẫn:
1.1. Với điều kiện đề cho: 
Vậy với x > 0
1.2. Rút gọn , suy ra A : B 
Vậy A : B = với x > 0.
2.3. Nhóm 3: Mẫu là các biểu thức có dạng tam thức bậc hai
Lưu ý cho học sinh khi mẫu là các biểu thức có dạng thì chọn mẫu chung là 
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức với 	
Hướng dẫn:
với 
Ví dụ 2: Cho biểu thức 
Chứng minh rằng với 
Hướng dẫn:
2.4. Nhóm 4: Mẫu là các biểu thức có dạng liên hợp bậc ba
Lưu ý cho học sinh khi mẫu là các biểu thức có dạng thì chọn mẫu chung là ; hoặc thì chọn mẫu chung là ; ...
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức 	 
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: 
Vậy với 
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức M = 
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: 
Vậy với 
C. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN
Phương pháp giải: 
B1: Đối chiếu giá trị đã cho của ẩn với điều kiện xác định của biểu thức.
B2: Thay giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức.
B3: Kết luận 
Chú ý: - Nếu giá trị của ẩn là một biểu thức chứa căn bậc hai thì ta phải biến đổi để đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu hoặc đôi lúc ta phải trục căn thức ở mẫu.
Ví dụ: Cho biểu thức với x > 0 và 
1. Tính giá trị của biểu thức P khi:
	1.1. x = 4
	1.2. x = 
	1.3. 
	1.4. 
	1.5. 
	1.6. 
	1.7. 
2. Cho , tính giá trị của biểu thức A = khi:
	2.1. x = 4
	2.2. x = 
	2.3. 
	2.4. 
3. Tính giá trị của biểu thức P khi:
	3.1. x là nghiệm của phương trình 
	3.2. x là nghiệm của phương trình: 
	3.3. x thỏa mãn biểu thức M = đạt giá trị nhỏ nhất
	3.4. giá trị nguyên của x thỏa mãn: ()
Hướng dẫn:
1. Tính giá trị của biểu thức P khi:
1.1. Ta có x = 4 thỏa mãn ĐKXĐ
Thay x = 4 vào biểu thức P ta có: 
Vậy P = khi x = 4
1.2. Ta có x = thỏa mãn ĐKXĐ
Thay x = vào biểu thức P ta có 
	Vậy khi x = 
1.3. Ta có thỏa mãn ĐKXĐ
 Suy ra (vì). Thay vào biểu thức P ta có:
 Vậy khi x = thì 
1.4. Ta có thỏa mãn ĐKXĐ
 Suy ra . Thay vào biểu thức P ta có:
 Vậy khi thì P = 
1.5. Ta có (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Thay x = 4 vào biểu thức P ta có: 
 Vậy P = khi 
1.6. Ta có 
 	 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy 
1.7. Ta có: 
 vì 
(thỏa mãn ĐKXĐ)
 Với x = 3 ta có 
 Vậy P = khi 
1.8. Ta có 
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Với x = 2 ta có 
 Vậy P = khi 
2. Ta có A = 
Ta có x = 4 thỏa mãn ĐKXĐ
Thay x = 4 vào biểu thức A ta có: 
Vậy A = 1 khi x = 4
Ta có x = thỏa mãn ĐKXĐ
 Thay x = vào biểu thức A ta có 
 Vậy khi x = 
2.3. Ta có thỏa mãn ĐKXĐ
 Suy ra .
 Thay ; vào biểu thức A ta có:
 Vậy khi x = thì A=
2.4. Ta có thỏa mãn ĐKXĐ
 Suy ra . Thay và vào biểu thức A ta có:
 Vậy khi thì A = 
3. Tính giá trị của biểu thức P khi:
3.1. Ta có 
Thay x = 4 vào P, ta có : 
3.2. Xét phương trình: . 
 Điều kiện (thỏa mãn mọi x)
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy 
3.3. Ta có: M = với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ
 Dấu “=” xảy ra khi x = 3 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy Mmin = x = 3 
 Với x = 3 ta có: 
3.4. +) Nhận thấy với y = 0 ta có:
 Vì x nguyên và x > 0; nên x = 4 (thỏa mãn).
 Thay x = 4 vào biểu thức P ta có: 
 +) Với ; y ta có 
 có tận cùng là chữ số 6. 
 với k 
 không chia hết cho 100. Vậy không có giá trị ; y thỏa mãn.
 Vậy với x có giá trị nguyên thỏa mãn:() thì 
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT BIỂU THỨC THỎA MÃN MỘT ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải: 
B1: Tìm điều kiện (nếu có)
B2: Giải phương trình từ đẳng thức cho ở đề bài để tìm ẩn
B3: Kiểm tra điều kiện của ẩn và kết luận 
Ví dụ: Cho biểu thức với x > 0 và 
1. Tìm x để: 
 	1.1. P = 2	 
 	1.2. P = 1 
 	1.3. 
 	1.4. 
2. Cho Q = . Gọi A = Q : P
 	2.1 Tìm x để A = 
 	2.2 Tìm x để 
3. Tìm x để: 
 	3.1 
	3.2 P.
	3.3 
Hướng dẫn:
 1.1. P = 2
 	 (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy với x = 25 thì P = 2 
 1.2. P = 1
 	 (không có x thỏa mãn)
 Vậy không có giá trị nào của x để P = 1
 1.3 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy với x = 49 thì 
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
2. Ta có: A = với x > 0 và ; 
 2.1 
 Vậy A = thì x = 
 2.2 
 Vậy không có giá trị nào của x để 
 3.1. thì 
 Vậy với ; x = 25 thì 
 3.2. Ta có: P. với điều kiện 
 (thỏa mãn điều kiện và ĐKXĐ)
TH1: Nếu x 3 ta có : 
 
TH2: Nếu 
DẠNG 3: TÌM X THỎA MÃN MỘT BẤT ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải: 
	 B1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)
 B2: Biến đổi bất đẳng thức cho trước về dạng 
 (hoặc hoặc hoặc ). 
 B3: Suy luận về dấu của f(x) và g(x) để tìm x
 B4: Kết hợp với điều kiện xác định và kết luận
Ví dụ: Cho biểu thức ; Q = với x 0 và 
1. Tìm các giá trị của x để:
	 1.1. P > 0 1.2. P 0 1.3. P < 
 1.4. P < 1 1.5. 1.6. P 
2. Đặt A = P : Q, tìm các giá trị của x để:
2.1. A > 1 2.2. A 2.3. A 
Hướng dẫn:
 1.1. P > 0 
	 Vì x 0 và nên + 2 > 0 
 Kết hợp với điều kiện x 0; ta có thì P > 0
 1.2. P 0 
	 Vì x 0 và nên + 2 > 0 
 Kết hợp với điều kiện x 0; ta có thì P 0
 1.3. P < 
 Vì x 0 và nên + 2 > 0 
Kết hợp với điều kiện x 0; ta có ; thì P < 
 1.4. P < 1 thì (luôn đúng với mọi x)
 Kết hợp với ĐKXĐ ta có: x 0 và thì P < 1.
 1.5. P 1 (vô lý)
 Vậy không có giá trị của x thỏa mãn P 1 
 1.6. Với điều kiện x > 0; ta có: 
 P 
 Kết hợp với điều kiện x > 0; ta có ; thì P .
 2. Ta có A = 
 2.1. A > 1
 Vì nên 
 Mà nên 
 Kết hợp với điều kiện x 0; ta có thì A > 1. 
 2.2. A 
 Vì nên 
 Kết hợp với điều kiện x 0; ta có: thì A 
 2.3. A 
 Vì nên 
 Kết hợp với điều kiện x 0; ta có thì A .
DẠNG 4: SO SÁNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC VỚI MỘT SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải: So sánh giá trị của biểu thức P với số a cho trước
	 B1: Xét hiệu P – a và biến đổi hiệu thành dạng 	
 B2: Suy luận về dấu của f(x) và g(x) để suy ra dấu của biểu thức 
 B3: Kết luận: 
 Nếu thì P > a hoặc Nếu thì P a
 Nếu thì P < a hoặc Nếu thì P a 
 Ví dụ : Cho biểu thức với x 0; 	
	 1. So sánh: 
	 1.1. P với 1.2. P và 1	 1.3. P với |P|
 1.4. P và P2 1.5. P và 
	 2. Cho biểu thức Q = . Đặt A = P. Q. Chứng minh rằng 
 2.1. A 2.1. |A| - A = 0 2.3. A2 
Hướng dẫn:
 1.1. Xét 
 Với x ta có và 2 
 nên 	
	 1.2. Xét 
 Vì và -2 < 0 nên 
 1.3. Ta có và nên 
 1.4. Ta có: 
 Mà ; 
 Vậy P2 < P.
 1.5. Vì P > 0 nên xét 
 Ta có ; P < 1 < 1 nên 
2. Ta có A = P. Q = với x > 0; 	
2.1. Xét A -1 = 
 Mà nên 
 2.2. Ta có A 
 2.3. Ta có 
 Mà A > 0; 
 Nhận xét: Trong các bài toán có liên quan của bài toán rút gọn biểu thức, ta gặp nhiều bài toán có nguồn gốc từ bài toán so sánh một biểu thức với một số hoặc một biểu thức, cụ thể như sau:
Loại 1. Chứng minh rằng P > a hoặc P < a hoặc hoặc 
Phương pháp giải: 
	 B1: Xét hiệu P – a và biến đổi hiệu thành dạng 
 B2: Suy luận về dấu của f(x) và g(x) để suy ra dấu của biểu thức 
 B3: Kết luận: Nếu thì P > a hoặc Nếu thì P a
 Nếu thì P < a hoặc Nếu thì P a 
Loại 2. So sánh P với P2 hoặc so sánh P với 
Phương pháp giải: 
	Cách 1.
	 B1: Xét hiệu P2 – P = P. (P – 1)
 B2: Suy luận để xét dấu của P và P – 1, từ đó suy ra dấu của biểu thức P2 – P 
 B3: Kết luận: 
 Nếu thì P2 > P hoặc Nếu thì P2 P
 Nếu thì P2 < P hoặc Nếu thì P2 P 
	Cách 2.
	 B1: Xét hiệu P2 – P 
 B2: Xét dấu của P2 – P và kết luận
	Cách 3.
	 B1: Đánh giá biểu thức P
	 B2: Kết luận bài toán dựa vào tính chất:
	 + Nếu thì 
	 + Nếu thì 
	Chú ý: Nếu gặp bài toán so sánh P với ta làm theo cách 3
Loại 3. So sánh P với 
Phương pháp giải: 
Đánh giá biểu thức P để thấy rằng hoặc sau đó bình phương 2 vế và đưa bài toán về loại 1.
Loại 4. So sánh P và |P|
Phương pháp giải: 
 B1: Xét dấu của P 
 B2: Dùng tính chất giá trị tuyệt đối để so sánh P và |P|
	 Nếu P 0 thì P = |P|
	 Nếu P < 0 thì |P| = - P do đó P < |P|
DẠNG 5: BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
LOẠI 1. TÌM CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC P CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
Phương pháp giải: 
 B1: Biến đổi biểu thức về dạng hoặc dạng trong đó a, b là số nguyên.
 B2: Suy luận vì a nguyên và x nguyên nên P có giá trị nguyên khi và chỉ khi , từ đó suy ra f(x) là ước của b 
 B3: Lập bảng giá trị để tìm x
 B4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Ví dụ 1: Cho biểu thức với 
 Tìm các giá trị nguyên của x để:
1. Biểu thức P có giá trị nguyên.
2. Biểu thức A = P. có giá trị nguyên.
3. Biểu thức B = P. có giá trị nguyên.
4. Biểu thức C = P. có giá trị nguyên.
Hướng dẫn:
1. Vì nên để thì hay Ư
 Ta có bảng sau:

-3
-1
1
3

- 5 (Loại)
- 3 (Loại)
- 1 (Loại)
1
x



 1
 Đối chiếu với điều kiện xác định, ta có: x = 1 thì P có giá trị nguyên.
2. Ta có A =. 
 Vì , nên để thì 
 hay Ư
 Do nên 

2
3
6

0
1
4
x
0
1
16
 Vì nên thì A= có giá trị là số nguyên.
3. Ta có B = P . 
	với 
 Vì B có giá trị nguyên nên 2B có giá trị nguyên
 Xét nên 2B có giá trị nguyên khi và chỉ khi 
 Ư 
 Vì nên 
 Thử lại, với x = 4 ta có B = ( thỏa mãn)
 Với x = 16 ta có B = ( thỏa mãn)
	 Vậy để B có giá trị nguyên thì .
4. Ta có C = 
 +) Xét ( thỏa mãn ĐKXĐ). Ta có C = 0 là số nguyên.
 +) Xét : Do , x + 4 > 0 nên để thì 
 (không thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy với x = 0 thì C có giá trị nguyên.
*Cách khác: Vì x + 4 là số nguyên nên C có giá trị nguyên khi , mà .
Vì C có giá trị nguyên nên có giá trị nguyên.
Xét 
Để có giá trị nguyên thì, mà nên x = 0 hoặc x = 12.
Thử lại ta có x = 0 thỏa mãn bài ra.
Nhận xét: Trong một số trường hợp đề bài có thể cho dưới các dạng sau:
 +) Tìm x nguyên để biểu thức P có giá trị là số nguyên dương.
 +) Tìm x nguyên để biểu thức P có giá trị là số nguyên không dương.
 +) Tìm x nguyên để biểu thức P có giá trị là số tự nhiên
 Trường hợp này ta vẫn có thể thực hiện các bước như trên, sau đó tính giá trị của biểu thức P ứng với từng giá trị của x tìm được, từ đó tìm giá trị của x thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
LOẠI 2. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC P CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
Phương pháp giải: 
 B1: Đánh giá để tìm hai số a, b sao cho (có thể xảy ra dấu “” hoặc “”)
 B2: Tìm các giá trị nguyên của P thỏa mãn điều kiện 
 B3: Lần lượt cho P bằng giá trị nguyên đã tìm được ở bước 2 để tìm x
 B4: Kiểm tra giá trị của x tìm được với điều kiện xác định và kết luận.
Ví dụ 2: Cho biểu thức với 	 
2.1. Chứng minh rằng P < 2 
2.2. Tìm các số thực x để P có giá trị là số nguyên.
2.3. Tìm các số thực x để M = P : có giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn:
2.1. Xét hiệu: 
 Vậy P < 2 (1)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vì P có giá trị nguyên nên 
 Với P = -1 ta có (thỏa mãn điều kiện xác định)
 Với P = 0 ta có (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Với P = 1 ta có (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy với thì P có giá trị nguyên.
Nhận xét: Đối với dạng bài này quan trọng nhất là tìm được a và b sao cho a < P < b, a càng lớn và b càng nhỏ thì việc tìm x càng đơn giản.. 
Ta có thể tìm a, b thông qua việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P.
2.3. Ta có M = 
 Ta có: Mx + M = hay Mx + 4+ M 
 Đặt = t ( , ) ta có phương trình M. t2 + 4t + M – 3 = 0 (*)
 Khi đó phương trình (*) có nghiệm.
	TH1: Nếu M = 0 ta có (*) ( thỏa mãn ; )
	TH2: 
 Phương trình (*) có nghiệm 
 Vì M có giá trị nguyên nên 
 - Nếu M = -1 thỏa mãn ĐKXĐ
 - Nếu M = 0 thỏa mãn ĐKX
 - Nếu M = 1 
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nếu M = 2 
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 - Nếu M = 3 
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nếu M = 4 
(Vô lí)
Vậy thì M có giá trị nguyên.
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT (NẾU CÓ) CỦA BIỂU THỨC
6.1. Loại 1. GTLN, GTNN của một tam thức bậc hai.
Phương pháp giải:
	B1: Biến đổi biểu thức về dạng: hoặc dạng: (A là một biểu thức chứa biến, m là hằng số)
	B2: Nhận xét, đánh giá để thấy rằng: Nếu thì GTNN của y là m khi A = 0 còn Nếu thì GTLN của y là m khi A = 0
Ví dụ 1: Cho biểu thức với 	
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = - P = 
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C =
Hướng dẫn:
 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ
 Dấu “=” xảy ra khi hay (thỏa mãn điều kiện xác định)
 Vậy Pmin = 
2. Đặt A =
 Dấu “=” xảy ra khi (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy Amax = khi 
 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ
 Dấu “=” xảy ra khi hay (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy Bmax = -
4. C =
 Dấu “=” xảy ra khi (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy khi .
6.2. Loại 2. GTLN, GTNN của một biểu thức sử dụng điều kiện 
Phương pháp giải:
Biến đổi biểu thức về dạng: hoặc dạng: (A là một biểu thức chứa biến, m là hằng số)
* Chú ý: Nếu thì GTNN của y là m khi A = 0 còn Nếu thì GTLN của y là m khi A = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Ta có: 
Ta có nên với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ
Dấu “=” xảy ra khi x = 0 ( thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy Pmin = -1 khi x = 0
 6.3. Biểu thức đưa được về dạng: P = 
 với và m; c là hằng số, m > 0
 Phương pháp giải: 
 B1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số > 0 và > 0
 Ta có P với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định
 B3: Dấu “=” xảy ra khi =. Tìm x để dấu “=” xảy ra.
 B4: Kiểm tra giá trị của x với điều kiện xác định và kết luận.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Hướng dẫn:
Ta có: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số và ta có: 
 Suy ra
 Dấu “=” xảy ra khi 
 Kết hợp với điều kiện xác định ta có Pmin = khi 
DẠNG 7: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Phương pháp: 
 B1: Biến đổi phương trình về dạng phương trình cơ bản đã học.
 B2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ
 B3: Kết luận.
 Ví dụ: Cho biểu thức với x > 0 
1. Tìm m để phương trình P = m có nghiệm.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình P. có nghiệm.
Hướng dẫn:
1. P = m 
 Để phương trình P = m có nghiệm thì (*) có nghiệm x > 0 và thì
 Vậy m > 1 và thì phương trình P = m có nghiệm
 2. P. (1)
	Đặt > 0 ta có phương trình để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm dương.
TH1: Để PT (**) có 1 nghiệm dương, 1 nghiệm âm thì: - (m+1) -1
TH2: Để phương trình (**) có 2 nghiệm dương không xảy ra vì 
TH3: Phương trình có 1 nghiệm t = 0 khi đó m = -1
 (**) trở thành t( t + 1) = 0 không thỏa mãn t > 0
Vậy với m>-1 thì phương trình P.có nghiệm.
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÓ HƯỚNG DẪN
NHÓM 1: Mẫu là các biểu thức có dạng liên hợp bậc hai
Bài 1: Cho biểu thức 
 1. Rút gọn B 	
 2. Tính giá trị của B khi 
 2.1. x = 4
 2.2. 
 	 2.3. 
 2.4. x= 
3. Tìm x thỏa mãn
 3.1. B < 0
 3. 2. B < 
 3.4. B > - 2
 3.5. 
4. So sánh P với 1 
5. Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.
 Hướng dẫn:
1. 
2. Tính giá trị của P khi 
2.1. x = 4 thỏa mãn ĐKXĐ
 Thay x = 4 vào biểu thức P ta có 
 Vậy với x = 4 thì 
2.2. thỏa mãn ĐKXĐ 
 Thay vào biểu thức P ta có 
 Vậy với thì 
2.3. thỏa mãn ĐKXĐ
 Suy ra . Thay vào biểu thức P ta có:
 Vậy khi x = thì 
2.4. x= thỏa mãn ĐKXĐ 
Thay x = 4 vào biểu thức P ta có 
 Vậy với x = 4 thì 
3. Tìm x thỏa mãn
3.1. Để P < 0 thì 
 Vì nên 
 Kết hợp với điều kiện ta có thì P < 0.
3. 2. Để P < thì 
 Vì nên 
 Kết hợp với điều kiện ta có thì P < .
 thỏa mãn ĐKXĐ 	
luôn đúng.
 Kết hợp với điều kiện ta có thì .
3.5. thỏa mãn ĐKXĐ 	
4. So sánh P với 1 
 Xét 
 Ta có: 
 với x thỏa mãn điều kiện xác định và -2 < 0
 . Vậy P < 1.
5. Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.
Vì nên để thì hay Ư
 Ta có bảng sau:

-1
1

-2 (Loại)
0 
x

0
 Đối chiếu với điều kiện xác định ta có: x = 0 thì P có giá trị nguyên.
Bài 2: Cho biểu thức 
1. Rút gọn P
2. Tính giá trị của P khi 
2.1 
2.2 x là nghiệm của phương trình 
3. Chứng tỏ rằng 
4. Tìm x để:
4.1 	
4.2 	
4.3 	
5. Tìm các số thực x để P là số nguyên.	
6. Tìm m để phương trình: m.P = - 2 có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn:
1. 
2.1 
Vậy 
2.2 	Vậy 
3. Xét 
 4.1. (không thỏa mãn ĐKXĐ) 
4.2 	
4.3 	
 và P nguyên nên 
 Với P = -1 ta có (thỏa mãn điều kiện xác định)
 Với P = 0 ta có (thỏa mãn điều kiện xác định)
 Với P = 1 ta có (thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy với thì P có giá trị nguyên.
6. Tìm m để phương trình: m.P = - 2 có hai nghiệm phân biệt.
 Phương trình: 
 Đặt ta có phương trình 
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) phải có hai nghiệm không âm phân biệt khác 1.
TH1: Phương trình (*) có 1 nghiệm t = 0 ta có:
 m = 2 (t/m) 
TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1: 
Vậy m > 2 là giá trị cần tìm.
Bài 3: Cho biểu thức 
1. Rút gọn P 	
2. Tính giá trị của P khi:
	2.1 x = 
	2.2 x = 
	2.3 x = 
	2.4 x là giá trị làm cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. 
3. Tìm x để P >2	
4. Tìm x nguyên đ