Đề giao lưu, thi HSG cấp trường môn Toán Lớp 8 (Lần 1) - Năm học 2023-2024 - UBND huyện Thọ Xuân (Có đáp án)

UBND HUYỆN THỌ XUÂN
CỤM TRƯỜNG THCS
(Đề thi gồm có 02 trang)
ĐỀ GIAO LƯU, THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LẦN 1, NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: TOÁN - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.
PHẦN TRẮC NGHIỆM (4 điểm) (Viết đáp án vào tờ giấy thi)
Câu 1: Cho . Tính .
Câu 2: Cho hai số thực phân biệt x, y thỏa mãn x3 + y3 = 8 - 6xy. Tính x + y.
Câu 3: Xác định dư của đa thức f(x) = 1 + x + x9 + x25 + x49 + x81 khi chia cho g(x) = x3 - x.
Câu 4: Số nghiệm nguyên dương của đa thức 5x2 – 
4xy + y2 - 169 là bao nhiêu?
Câu 5: Xác định các hằng số a, b sao cho: x4 + ax + b chia hết cho x2 – 4.
Câu 6: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AC. Các đường thẳng AD, BM, CE đồng quy tại điểm K nằm trong tam giác (D thuộc
 BC, E thuộc AB). Biết diện tích tam giác AKE bằng 10cm2, diện tích tam giác BKE bằng 20cm2. Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AB//CD), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm M của cạnh bên AD. Tính 
Câu 8: Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số của thẻ được chọn không vượt quá 8. Số phần tử của biến cố A là?
B. PHẦN TỰ LUẬN (16 điểm)
Câu 1 (2 điểm): 
Cho a2  + 4b2 + 9c2 = 2ab + 6bc + 3ca. Tính giá trị của biểu thức:
A = (a - 2b + 1)2022 + (2b - 3c - 1)2023 + (3c – a + 1)2024
Phân tích đa thức thành nhân tử: a2b2(a - b) + b2c2(b - c) + c2a2(c - a).
Câu 2 (4 điểm):
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = (x2 - 1)(x2 + 4x + 3) – 192.
Tìm cặp số x, y thỏa mãn: x2 + 3y2 - 3x - 1 = 0 và x2 - y2 - x - 4y + 5 = 0.
Câu 3 (3 điểm):
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 3x = x2 y + 2y + 5. 
b) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh: a5 + b5 + c5 – (a + b + c) chia hết cho 30.
Câu 4 (6 điểm): Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BO và AO. Lấy điểm F di chuyển trên cạnh AB sao cho FM cắt cạnh BC tại E và FN cắt cạnh AD tại K. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với EF cắt BD lần lượt tại I và L. 
a) Chứng minh: BI = DL.
b) Chứng minh: .
c) Xác định vị trí của điểm F trên cạnh AB sao cho BE + AK đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
B = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 2051.
================******Hết******================
Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: .................... 
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
XUÂN LAI
 HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HSG LỚP 8 - LẦN 1
Năm học 2023 - 2024
[
Môn: Toán 
PHẦN TRẮC NGHIỆM (4 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng: 0,5đ.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
2
123
5x + 1
4
a = 0; b = -16
75cm2
900
4
PHẦN TỰ LUẬN (16 điểm)
Câu
Ý
Đáp án
Điểm
1
a
1,0đ
a) Cho a2  + 4b2 + 9c2 = 2ab + 6bc + 3ca. Tính giá trị của biểu thức:
A = (a - 2b + 1)2022 + (2b - 3c - 1)2023 + (3c – a + 1)2024 (1)	

a2  + 4b2 + 9c2 = 2ab + 6bc + 3ca => 2a2  + 8b2 + 18c2 = 4ab + 12bc + 6ca
=> (a2  - 4ab + 4b2) + (4b2  - 12bc + 9c2) + (9c2  - 6ca + a2) = 0
=> (a – 2b)2 + (2b – 3c)2 + (3c – a)2 = 0
Vì (a – 2b)2 (2b – 3c)2 ; (3c – a)2 
=> (a – 2b)2 + (2b – 3c)2 + (3c – a)2 
Dấu “=” xảy ra khi: (*)
Thay (*) vào (1) ta được: A = 12022 + (- 1)2023 + 12024 = 1 – 1 + 1 = 1
Vậy A = 1.

0,5
0,25
0,25
b
1,0đ
b) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a2b2(a - b) + b2c2(b - c) + c2a2(c - a).	 

a2b2(a - b) + b2c2(b - c) + c2a2(c - a)
= a2b2(a - b) + b2c2[(b - a) - (c - a)] + c2a2(c - a)
= a2b2(a - b) + b2c2(b - a) - b2c2 (c - a) + c2a2(c - a)
= b2(a - b)(a2 - c2) + c2 (c - a)( a2 - b2) 
= b2(a - b)(a - c)(a + c) + c2 (c - a)( a - b)(a + b)
= (a - b)(c - a)(- ab2 - b2c + ac2 + bc2)
= (a - b)(c - a)[a(c + b)(c - b) + bc(c - b)]
= (a - b)(c - a)(c – b)(ac + ab + bc)

0,25
0,25
0,25
0,25
2
a
2,0đ
a) Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = (x2 - 1)(x2 + 4x + 3) – 192.

Ta có: f(x) = 0 => (x2 - 1)(x2 + 4x + 3) – 192 = 0
=> (x – 1)(x + 1)( x + 1)(x + 3) - 192 = 0
=> (x + 1)2(x – 1)(x + 3) – 192 = 0
=> (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x - 3) – 192 = 0 (*)
Đặt x2 + 2x + 1 = y (y ) => x2 + 2x – 3 = y – 4
Thay vào (*) ta được: y(y – 4) – 192 = 0
=> y2 – 4y – 192 = 0 => (y – 16)(y + 12) = 0
Với y = 16 => x2 + 2x + 1 = 16 =>(x + 1)2 = 16
Vậy đa thức f(x) có nghiệm là 3 và - 5.

0,5
0.5
0,75
0,25
b
2,0đ
b) Tìm cặp số x, y thỏa mãn: x2 + 3y2 - 3x - 1 = 0 (1) và 
x2 - y2 - x - 4y + 5 = 0 (2) 

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
x2 + 3y2 - 3x - 1 + x2 - y2 - x - 4y + 5 = 0
=> 2x2 + 2y2 - 4x - 4y + 4 = 0
=> (x – y)2 + (x + y – 2)2 = 0
Vì (x – y)2 (x + y – 2)2 
=> (x – y)2 + (x + y – 2)2
Dấu “=” xảy ra khi:
Vậy cặp (x; y) thỏa mãn đề bài là: (1; 1).

0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
3
a
1,5đ
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 3x = x2 y + 2y + 5 

Ta có x3 + 3x = x2 y + 2y + 5 y = y = x + 
Ta thấy y nguyên nguyên x – 5 chia hết cho x2 + 2
=> (x – 5)(x + 5) chia hết cho x2 + 2 hay x2 + 2 - 27 chia hết cho
 x2 + 2 => 27 chia hết cho x2 + 2, mà x2 + 2 2 nên x2 + 2
- Với x2 + 2 = 3 => x2 = 1 => 
- Với x2 + 2 = 9 => x2 = 7 => x = (loai)
- Với x2 + 2 = 27 => x2 = 25 => 
Vậy các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (- 1; - 3) và (5; 5).
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b
1,5đ
b) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng: 
a5 + b5 + c5 – (a + b + c) chia hết cho 30.


a5 + b5 + c5 – (a + b + c) = (a5 – a) + (b5 – b) + (c5 – c) 
Ta có: a5 – a = a(a4 – 1) = a(a – 1)(a + 1)(a2 – 4 + 5)
 = a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1)
Vì a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3.5 = 30.
5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 2.3.5 = 30 
=> a5 – a chia hết cho 30.
Tương tự: b5 – b; c5 – c cũng chia hết cho 30.
Vậy a5 + b5 + c5 – (a + b + c) chia hết cho 30.

0,5
0,5
0,25
0,25
4



a
2,0đ
a) Chứng minh: BI = DL.
Xét DAOI và DCOL có:
OA = OC (ABCD là hình bình hành)
 (đối đỉnh)
 (so le trong; AI//CL do cùng song song với EF)
Do đó D AOI = D COL (g.c.g) Þ OI = OL
Ta có: BI = OB - OI; DL= OD - OL
Mà OB = OD (ABCD là hình bình hành); OI = OL (cmt) nên BI = DL.

1,0
0,5
0,5
b
2,0đ
b) Chứng minh rằng: 
Xét DABI có FM//AI nên (vì BI = DL) (1)
Xét DBCL có EM//CL nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Vậy .

0,75
0,5
0,5
0,25
c
2,0đ
c) Xác định vị trí của điểm F trên cạnh AB sao cho BE + AK đạt giá trị nhỏ nhất.
Chứng minh tương tự câu a, ta được: 
Ta có: 
Tương tự, từ 
Dấu “=” xảy ra khi: 
=> F là trung điểm của AB.
Vậy (AK + BE)min = BC khi F là trung điểm của AB.

5
1,0đ
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
B= xyx-2y+6+12x2-24x+3y2+18y+2051



Ta có: B= xyx-2y+6+12x2-24x+3y2+18y+2051
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2015
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2015
 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2015 (1)
Vì x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 ≥ 0 Þ x2 - 2x + 3 ≥ 2 mọi x Î R (2)
 y2 + 6y + 9 = (y + 3)2 ≥ 0 Þ y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y Î R (3)
Từ (1); (2) và (3) Þ B ≥ 2.3 + 2015 Þ B ≥ 2021
Dấu « = » xảy ra Û x = 1 và y = - 3
Vậy Min B = 2021 Û x = 1 và y = - 3.

0,5
0,25
0,25
 
 Chú ý: 
Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình hoặc vẽ sai hình cơ bản thì không chấm điểm bài hình.
Điểm chấm chi tiết đến 0,25 đ.
Hướng dẫn câu 1:
Ta có: a3 + b3 +c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc − ca)
Từ x3 + y3 + 6xy = 8
=> x3 + y3 + (−2)3 + 6xy = 0
=> (x + y − 2)(x2 + y2 + 4 – xy + 2y + 2x) = 0
=> x + y = 2
Hướng dẫn câu 2: 
Vì a > 0 nên:
Xét 
Mặt khác: 
Hướng dẫn câu 3:
Xác định dư của đa thức f(x) = 1 + x + x9 + x25 + x49 + x81 khi chia cho g(x) = x3 - x.
	 = 
Vậy dư của phép chia là: 5x + 1.
Hướng dẫn câu 6:
Do M là trung điểm của AC nên: 
Vậy